Resolver {l}{x+y=13800}{0.2y=x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 13800 } \\ { 0.2 y = x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2300$$

$$y=11500$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$0.2y-x=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=13800,-x+0.2y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=13800$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+13800$$

Ordeztu -y+13800 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+0.2y=0).

$$-\left(-y+13800\right)+0.2y=0$$

Egin -1 bider -y+13800.

$$y-13800+0.2y=0$$

Gehitu y eta \frac{y}{5}.

$$1.2y-13800=0$$

Gehitu 13800 ekuazioaren bi aldeetan.

$$1.2y=13800$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 1.2 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=11500$$

Ordeztu 11500 y balioarekin x=-y+13800 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-11500+13800$$

Gehitu 13800 eta -11500.

$$x=2300$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2300,y=11500$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$0.2y-x=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=13800,-x+0.2y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13800\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\-1&0.2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13800\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13800\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13800\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{0.2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{0.2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{0.2-\left(-1\right)}&\frac{1}{0.2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13800\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}&\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13800\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 13800\\\frac{5}{6}\times 13800\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2300\\11500\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2300,y=11500$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu x bi aldeetatik.

$$0.2y-x=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=13800,-x+0.2y=0$$

x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-x-y=-13800,-x+0.2y=0$$

Egin -x+0.2y=0 ken -x-y=-13800 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-x+x-y-0.2y=-13800$$

Gehitu -x eta x. Sinplifikatu egiten dira -x eta x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-y-0.2y=-13800$$

Gehitu -y eta -\frac{y}{5}.

$$-1.2y=-13800$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1.2 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=11500$$

Ordeztu 11500 y balioarekin -x+0.2y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x+0.2\times 11500=0$$

Egin 0.2 bider 11500.

$$-x+2300=0$$

Egin ken 2300 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-2300$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=2300$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2300,y=11500$$