Resolver {l}{x+y=13}{6x+3.5y=60.75}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 13 } \\ { 6 x + 3.5 y = 60.75 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=6.1$$

$$y=6.9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+y=13,6x+3.5y=60.75$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+y=13$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-y+13$$

Ordeztu -y+13 balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+3.5y=60.75).

$$6\left(-y+13\right)+3.5y=60.75$$

Egin 6 bider -y+13.

$$-6y+78+3.5y=60.75$$

Gehitu -6y eta \frac{7y}{2}.

$$-2.5y+78=60.75$$

Egin ken 78 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2.5y=-17.25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2.5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=6.9$$

Ordeztu 6.9 y balioarekin x=-y+13 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-6.9+13$$

Gehitu 13 eta -6.9.

$$x=6.1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6.1,y=6.9$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+y=13,6x+3.5y=60.75$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\60.75\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\6&3.5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\60.75\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\60.75\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\60.75\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3.5}{3.5-6}&-\frac{1}{3.5-6}\\-\frac{6}{3.5-6}&\frac{1}{3.5-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\60.75\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1.4&0.4\\2.4&-0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\60.75\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1.4\times 13+0.4\times 60.75\\2.4\times 13-0.4\times 60.75\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6.1\\6.9\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=6.1,y=6.9$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+y=13,6x+3.5y=60.75$$

x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6x+6y=6\times 13,6x+3.5y=60.75$$

Sinplifikatu.

$$6x+6y=78,6x+3.5y=60.75$$

Egin 6x+3.5y=60.75 ken 6x+6y=78 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+6y-3.5y=78-60.75$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-3.5y=78-60.75$$

Gehitu 6y eta -\frac{7y}{2}.

$$2.5y=78-60.75$$

Gehitu 78 eta -60.75.

$$2.5y=17.25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2.5 balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=6.9$$

Ordeztu 6.9 y balioarekin 6x+3.5y=60.75 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+3.5\times 6.9=60.75$$

Egin 3.5 bider 6.9, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$6x+24.15=60.75$$

Egin ken 24.15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=36.6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=6.1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6.1,y=6.9$$