Resolver {l}{x+6y=90}{3x+3y=-30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 6 y = 90 } \\ { 3 x + 3 y = - 30 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-30$$

$$y=20$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+6y=90$$

Egin ken 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-6y+90$$

Ordeztu -6y+90 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+3y=-30).

$$3\left(-6y+90\right)+3y=-30$$

Egin 3 bider -6y+90.

$$-18y+270+3y=-30$$

Gehitu -18y eta 3y.

$$-15y+270=-30$$

Egin ken 270 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-15y=-300$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -15 balioarekin.

$$y=20$$

Ordeztu 20 y balioarekin x=-6y+90 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-6\times 20+90$$

Egin -6 bider 20.

$$x=-120+90$$

Gehitu 90 eta -120.

$$x=-30$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-30,y=20$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&6\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-6\times 3}&-\frac{6}{3-6\times 3}\\-\frac{3}{3-6\times 3}&\frac{1}{3-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 90+\frac{2}{5}\left(-30\right)\\\frac{1}{5}\times 90-\frac{1}{15}\left(-30\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\20\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-30,y=20$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+6y=90,3x+3y=-30$$

x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+3\times 6y=3\times 90,3x+3y=-30$$

Sinplifikatu.

$$3x+18y=270,3x+3y=-30$$

Egin 3x+3y=-30 ken 3x+18y=270 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+18y-3y=270+30$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$18y-3y=270+30$$

Gehitu 18y eta -3y.

$$15y=270+30$$

Gehitu 270 eta 30.

$$15y=300$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 15 balioarekin.

$$y=20$$

Ordeztu 20 y balioarekin 3x+3y=-30 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+3\times 20=-30$$

Egin 3 bider 20.

$$3x+60=-30$$

Egin ken 60 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-90$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-30$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-30,y=20$$