Resolver {l}{x+5y=5}{3x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 5 y = 5 } \\ { 3 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{25}{17} = 1\frac{8}{17} \approx 1.470588235$$

$$y=\frac{12}{17}\approx 0.705882353$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+5y=5$$

Egin ken 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-5y+5$$

Ordeztu -5y+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-2y=3).

$$3\left(-5y+5\right)-2y=3$$

Egin 3 bider -5y+5.

$$-15y+15-2y=3$$

Gehitu -15y eta -2y.

$$-17y+15=3$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-17y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -17 balioarekin.

$$y=\frac{12}{17}$$

Ordeztu \frac{12}{17} y balioarekin x=-5y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-5\times \frac{12}{17}+5$$

Egin -5 bider \frac{12}{17}.

$$x=-\frac{60}{17}+5$$

Gehitu 5 eta -\frac{60}{17}.

$$x=\frac{25}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5\times 3}&-\frac{5}{-2-5\times 3}\\-\frac{3}{-2-5\times 3}&\frac{1}{-2-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{5}{17}\\\frac{3}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 5+\frac{5}{17}\times 3\\\frac{3}{17}\times 5-\frac{1}{17}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{17}\\\frac{12}{17}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+5y=5,3x-2y=3$$

x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+3\times 5y=3\times 5,3x-2y=3$$

Sinplifikatu.

$$3x+15y=15,3x-2y=3$$

Egin 3x-2y=3 ken 3x+15y=15 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+15y+2y=15-3$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$15y+2y=15-3$$

Gehitu 15y eta 2y.

$$17y=15-3$$

Gehitu 15 eta -3.

$$17y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 17 balioarekin.

$$y=\frac{12}{17}$$

Ordeztu \frac{12}{17} y balioarekin 3x-2y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-2\times \frac{12}{17}=3$$

Egin -2 bider \frac{12}{17}.

$$3x-\frac{24}{17}=3$$

Gehitu \frac{24}{17} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{75}{17}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{25}{17}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{25}{17},y=\frac{12}{17}$$