Resolver {l}{x+4y=5}{-2x-y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 5 } \\ { - 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{11}{7} = 1\frac{4}{7} \approx 1.571428571$$

$$y=\frac{6}{7}\approx 0.857142857$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+4y=5$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-4y+5$$

Ordeztu -4y+5 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-2x-y=-4).

$$-2\left(-4y+5\right)-y=-4$$

Egin -2 bider -4y+5.

$$8y-10-y=-4$$

Gehitu 8y eta -y.

$$7y-10=-4$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$7y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=\frac{6}{7}$$

Ordeztu \frac{6}{7} y balioarekin x=-4y+5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4\times \frac{6}{7}+5$$

Egin -4 bider \frac{6}{7}.

$$x=-\frac{24}{7}+5$$

Gehitu 5 eta -\frac{24}{7}.

$$x=\frac{11}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4\left(-2\right)}&-\frac{4}{-1-4\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-1-4\left(-2\right)}&\frac{1}{-1-4\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{4}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 5-\frac{4}{7}\left(-4\right)\\\frac{2}{7}\times 5+\frac{1}{7}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{7}\\\frac{6}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+4y=5,-2x-y=-4$$

x eta -2x berdintzeko, biderkatu -2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2x-2\times 4y=-2\times 5,-2x-y=-4$$

Sinplifikatu.

$$-2x-8y=-10,-2x-y=-4$$

Egin -2x-y=-4 ken -2x-8y=-10 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2x+2x-8y+y=-10+4$$

Gehitu -2x eta 2x. Sinplifikatu egiten dira -2x eta 2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8y+y=-10+4$$

Gehitu -8y eta y.

$$-7y=-10+4$$

Gehitu -10 eta 4.

$$-7y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=\frac{6}{7}$$

Ordeztu \frac{6}{7} y balioarekin -2x-y=-4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-2x-\frac{6}{7}=-4$$

Gehitu \frac{6}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2x=-\frac{22}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$x=\frac{11}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{11}{7},y=\frac{6}{7}$$