Resolver {l}{x+4y=1}{2x+y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = 1 } \\ { 2 x + y = - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+4y=1,2x+y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+4y=1$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-4y+1$$

Ordeztu -4y+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y=-5).

$$2\left(-4y+1\right)+y=-5$$

Egin 2 bider -4y+1.

$$-8y+2+y=-5$$

Gehitu -8y eta y.

$$-7y+2=-5$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7y=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=-4y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4+1$$

Gehitu 1 eta -4.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+4y=1,2x+y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-4\times 2}&-\frac{4}{1-4\times 2}\\-\frac{2}{1-4\times 2}&\frac{1}{1-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}+\frac{4}{7}\left(-5\right)\\\frac{2}{7}-\frac{1}{7}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+4y=1,2x+y=-5$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2\times 4y=2,2x+y=-5$$

Sinplifikatu.

$$2x+8y=2,2x+y=-5$$

Egin 2x+y=-5 ken 2x+8y=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+8y-y=2+5$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8y-y=2+5$$

Gehitu 8y eta -y.

$$7y=2+5$$

Gehitu 2 eta 5.

$$7y=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 2x+y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+1=-5$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=1$$