Resolver {l}{x+4y=-1}{2x-4y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 4 y = - 1 } \\ { 2 x - 4 y = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+4y=-1,2x-4y=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+4y=-1$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-4y-1$$

Ordeztu -4y-1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-4y=4).

$$2\left(-4y-1\right)-4y=4$$

Egin 2 bider -4y-1.

$$-8y-2-4y=4$$

Gehitu -8y eta -4y.

$$-12y-2=4$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-12y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -12 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Ordeztu -\frac{1}{2} y balioarekin x=-4y-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)-1$$

Egin -4 bider -\frac{1}{2}.

$$x=2-1$$

Gehitu -1 eta 2.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-\frac{1}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+4y=-1,2x-4y=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-4\times 2}&-\frac{4}{-4-4\times 2}\\-\frac{2}{-4-4\times 2}&\frac{1}{-4-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{1}{3}\times 4\\\frac{1}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{12}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=-\frac{1}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+4y=-1,2x-4y=4$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2\times 4y=2\left(-1\right),2x-4y=4$$

Sinplifikatu.

$$2x+8y=-2,2x-4y=4$$

Egin 2x-4y=4 ken 2x+8y=-2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+8y+4y=-2-4$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8y+4y=-2-4$$

Gehitu 8y eta 4y.

$$12y=-2-4$$

Gehitu -2 eta -4.

$$12y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Ordeztu -\frac{1}{2} y balioarekin 2x-4y=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-4\left(-\frac{1}{2}\right)=4$$

Egin -4 bider -\frac{1}{2}.

$$2x+2=4$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=-\frac{1}{2}$$