Resolver {l}{x+3y=6}{2x+y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+3y=6,2x+y=7$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+3y=6$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-3y+6$$

Ordeztu -3y+6 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+y=7).

$$2\left(-3y+6\right)+y=7$$

Egin 2 bider -3y+6.

$$-6y+12+y=7$$

Gehitu -6y eta y.

$$-5y+12=7$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5y=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin x=-3y+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-3+6$$

Gehitu 6 eta -3.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+3y=6,2x+y=7$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 2}&-\frac{3}{1-3\times 2}\\-\frac{2}{1-3\times 2}&\frac{1}{1-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 6+\frac{3}{5}\times 7\\\frac{2}{5}\times 6-\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+3y=6,2x+y=7$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2\times 3y=2\times 6,2x+y=7$$

Sinplifikatu.

$$2x+6y=12,2x+y=7$$

Egin 2x+y=7 ken 2x+6y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+6y-y=12-7$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-y=12-7$$

Gehitu 6y eta -y.

$$5y=12-7$$

Gehitu 12 eta -7.

$$5y=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=1$$

Ordeztu 1 y balioarekin 2x+y=7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+1=7$$

Egin ken 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=1$$