Resolver {l}{x+3y=1}{2x+3y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 3 y = 1 } \\ { 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=0$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+3y=1,2x+3y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+3y=1$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-3y+1$$

Ordeztu -3y+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+3y=1).

$$2\left(-3y+1\right)+3y=1$$

Egin 2 bider -3y+1.

$$-6y+2+3y=1$$

Gehitu -6y eta 3y.

$$-3y+2=1$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=\frac{1}{3}$$

Ordeztu \frac{1}{3} y balioarekin x=-3y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-3\times \frac{1}{3}+1$$

Egin -3 bider \frac{1}{3}.

$$x=-1+1$$

Gehitu 1 eta -1.

$$x=0$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=\frac{1}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+3y=1,2x+3y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&3\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-3\times 2}&-\frac{3}{3-3\times 2}\\-\frac{2}{3-3\times 2}&\frac{1}{3-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+1\\\frac{2-1}{3}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=0,y=\frac{1}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+3y=1,2x+3y=1$$

Egin 2x+3y=1 ken x+3y=1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-2x+3y-3y=1-1$$

Gehitu 3y eta -3y. Sinplifikatu egiten dira 3y eta -3y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x-2x=1-1$$

Gehitu x eta -2x.

$$-x=1-1$$

Gehitu 1 eta -1.

$$-x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=0$$

Ordeztu 0 x balioarekin 2x+3y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$3y=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=\frac{1}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=0,y=\frac{1}{3}$$