Resolver {l}{x+3=y}{x+y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 3 = y } \\ { x + y = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x+3-y=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-y=-3$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x-y=-3,x+y=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x-y=-3$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=y-3$$

Ordeztu y-3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+y=2).

$$y-3+y=2$$

Gehitu y eta y.

$$2y-3=2$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{5}{2} y balioarekin x=y-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{2}-3$$

Gehitu -3 eta \frac{5}{2}.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{5}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x+3-y=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-y=-3$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x-y=-3,x+y=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-3\right)+\frac{1}{2}\times 2\\-\frac{1}{2}\left(-3\right)+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{5}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu y bi aldeetatik.

$$x+3-y=0$$

Kendu 3 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$x-y=-3$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x-y=-3,x+y=2$$

Egin x+y=2 ken x-y=-3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x-y-y=-3-2$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-y-y=-3-2$$

Gehitu -y eta -y.

$$-2y=-3-2$$

Gehitu -3 eta -2.

$$-2y=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$y=\frac{5}{2}$$

Ordeztu \frac{5}{2} y balioarekin x+y=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+\frac{5}{2}=2$$

Egin ken \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{5}{2}$$