Resolver {l}{x+2y=2m}{3x+5y=m-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 2 m } \\ { 3 x + 5 y = m - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-8m-2$$

$$y=5m+1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+2y=2m,3x+5y=m-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+2y=2m$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2y+2m$$

Ordeztu -2y+2m balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+5y=m-1).

$$3\left(-2y+2m\right)+5y=m-1$$

Egin 3 bider -2y+2m.

$$-6y+6m+5y=m-1$$

Gehitu -6y eta 5y.

$$-y+6m=m-1$$

Egin ken 6m ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-5m-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=5m+1$$

Ordeztu 5m+1 y balioarekin x=-2y+2m ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\left(5m+1\right)+2m$$

Egin -2 bider 5m+1.

$$x=-10m-2+2m$$

Gehitu 2m eta -10m-2.

$$x=-8m-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-8m-2,y=5m+1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+2y=2m,3x+5y=m-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 3}&-\frac{2}{5-2\times 3}\\-\frac{3}{5-2\times 3}&\frac{1}{5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 2m+2\left(m-1\right)\\3\times 2m-\left(m-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8m-2\\5m+1\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-8m-2,y=5m+1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+2y=2m,3x+5y=m-1$$

x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+3\times 2y=3\times 2m,3x+5y=m-1$$

Sinplifikatu.

$$3x+6y=6m,3x+5y=m-1$$

Egin 3x+5y=m-1 ken 3x+6y=6m berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+6y-5y=6m+1-m$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-5y=6m+1-m$$

Gehitu 6y eta -5y.

$$y=6m+1-m$$

Gehitu 6m eta -m+1.

$$y=5m+1$$

Ordeztu 1+5m y balioarekin 3x+5y=m-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+5\left(5m+1\right)=m-1$$

Egin 5 bider 1+5m.

$$3x+25m+5=m-1$$

Egin ken 5+25m ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-24m-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-8m-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-8m-2,y=5m+1$$