Resolver {l}{x+2y=2}{x-3y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 2 } \\ { x - 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{4}{5}=-0.8$$

$$y = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+2y=2,x-3y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+2y=2$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2y+2$$

Ordeztu -2y+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-3y=-5).

$$-2y+2-3y=-5$$

Gehitu -2y eta -3y.

$$-5y+2=-5$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5y=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=\frac{7}{5}$$

Ordeztu \frac{7}{5} y balioarekin x=-2y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\times \frac{7}{5}+2$$

Egin -2 bider \frac{7}{5}.

$$x=-\frac{14}{5}+2$$

Gehitu 2 eta -\frac{14}{5}.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{4}{5},y=\frac{7}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+2y=2,x-3y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2}&-\frac{2}{-3-2}\\-\frac{1}{-3-2}&\frac{1}{-3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 2+\frac{2}{5}\left(-5\right)\\\frac{1}{5}\times 2-\frac{1}{5}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5}\\\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{4}{5},y=\frac{7}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+2y=2,x-3y=-5$$

Egin x-3y=-5 ken x+2y=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x-x+2y+3y=2+5$$

Gehitu x eta -x. Sinplifikatu egiten dira x eta -x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y+3y=2+5$$

Gehitu 2y eta 3y.

$$5y=2+5$$

Gehitu 2 eta 5.

$$5y=7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$y=\frac{7}{5}$$

Ordeztu \frac{7}{5} y balioarekin x-3y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-3\times \frac{7}{5}=-5$$

Egin -3 bider \frac{7}{5}.

$$x-\frac{21}{5}=-5$$

Gehitu \frac{21}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{4}{5},y=\frac{7}{5}$$