Resolver {l}{x+2y=-18}{3x-y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = - 18 } \\ { 3 x - y = - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{20}{7} = -2\frac{6}{7} \approx -2.857142857$$

$$y = -\frac{53}{7} = -7\frac{4}{7} \approx -7.571428571$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+2y=-18,3x-y=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+2y=-18$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-2y-18$$

Ordeztu -2y-18 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-y=-1).

$$3\left(-2y-18\right)-y=-1$$

Egin 3 bider -2y-18.

$$-6y-54-y=-1$$

Gehitu -6y eta -y.

$$-7y-54=-1$$

Gehitu 54 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7y=53$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$y=-\frac{53}{7}$$

Ordeztu -\frac{53}{7} y balioarekin x=-2y-18 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\left(-\frac{53}{7}\right)-18$$

Egin -2 bider -\frac{53}{7}.

$$x=\frac{106}{7}-18$$

Gehitu -18 eta \frac{106}{7}.

$$x=-\frac{20}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{20}{7},y=-\frac{53}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+2y=-18,3x-y=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 3}&-\frac{2}{-1-2\times 3}\\-\frac{3}{-1-2\times 3}&\frac{1}{-1-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-18\right)+\frac{2}{7}\left(-1\right)\\\frac{3}{7}\left(-18\right)-\frac{1}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{7}\\-\frac{53}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{20}{7},y=-\frac{53}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+2y=-18,3x-y=-1$$

x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x+3\times 2y=3\left(-18\right),3x-y=-1$$

Sinplifikatu.

$$3x+6y=-54,3x-y=-1$$

Egin 3x-y=-1 ken 3x+6y=-54 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x+6y+y=-54+1$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y+y=-54+1$$

Gehitu 6y eta y.

$$7y=-54+1$$

Gehitu -54 eta 1.

$$7y=-53$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=-\frac{53}{7}$$

Ordeztu -\frac{53}{7} y balioarekin 3x-y=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-\left(-\frac{53}{7}\right)=-1$$

Egin ken \frac{53}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=-\frac{60}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=-\frac{20}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{20}{7},y=-\frac{53}{7}$$