Resolver {l}{ax-by+8=0}{bx+ay+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x - b y + 8 = 0 } \\ { b x + a y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y (complex solution)

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$a\neq ib\text{ and }a\neq -ib$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

Gehitu by ekuazioaren bi aldeetan.

$$ax=by-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak a balioarekin.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

Egin \frac{1}{a} bider by-8.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

Ordeztu \frac{by-8}{a} balioa x balioarekin beste ekuazioan (bx+ay+1=0).

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

Egin b bider \frac{by-8}{a}.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

Gehitu \frac{b^{2}y}{a} eta ay.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

Gehitu -\frac{8b}{a} eta 1.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

Egin ken \frac{a-8b}{a} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak a+\frac{b^{2}}{a} balioarekin.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Ordeztu \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} y balioarekin x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

Egin \frac{b}{a} bider \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

Gehitu -\frac{8}{a} eta \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax eta bx berdintzeko, biderkatu b balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu a balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

Sinplifikatu.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

Egin abx+a^{2}y+a=0 ken abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Gehitu bax eta -bax. Sinplifikatu egiten dira bax eta -bax. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Gehitu -b^{2}y eta -a^{2}y.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

Egin ken 8b-a ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -b^{2}-a^{2} balioarekin.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

Ordeztu -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} y balioarekin bx+ay+1=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

Egin a bider -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

Gehitu -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} eta 1.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

Egin ken \frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}} ekuazioaren bi aldeetan.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak b balioarekin.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

$$b\neq 0\text{ or }a\neq 0$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$ax+\left(-b\right)y=-8$$

Gehitu by ekuazioaren bi aldeetan.

$$ax=by-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak a balioarekin.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-8\right)$$

Egin \frac{1}{a} bider by-8.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}$$

Ordeztu \frac{by-8}{a} balioa x balioarekin beste ekuazioan (bx+ay+1=0).

$$b\left(\frac{b}{a}y-\frac{8}{a}\right)+ay+1=0$$

Egin b bider \frac{by-8}{a}.

$$\frac{b^{2}}{a}y-\frac{8b}{a}+ay+1=0$$

Gehitu \frac{b^{2}y}{a} eta ay.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y-\frac{8b}{a}+1=0$$

Gehitu -\frac{8b}{a} eta 1.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y+\frac{a-8b}{a}=0$$

Egin ken \frac{a-8b}{a} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(\frac{b^{2}}{a}+a\right)y=\frac{8b}{a}-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak a+\frac{b^{2}}{a} balioarekin.

$$y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Ordeztu \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}} y balioarekin x=\frac{b}{a}y-\frac{8}{a} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}-\frac{8}{a}$$

Egin \frac{b}{a} bider \frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}.

$$x=\frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{8}{a}$$

Gehitu -\frac{8}{a} eta \frac{b\left(8b-a\right)}{a\left(a^{2}+b^{2}\right)}.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\b&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}&-\frac{-b}{aa-\left(-b\right)b}\\-\frac{b}{aa-\left(-b\right)b}&\frac{a}{aa-\left(-b\right)b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-8\right)+\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-8\right)+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}\\\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=\frac{8b-a}{a^{2}+b^{2}}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$ax+\left(-b\right)y+8=0,bx+ay+1=0$$

ax eta bx berdintzeko, biderkatu b balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu a balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$bax+b\left(-b\right)y+b\times 8=0,abx+aay+a=0$$

Sinplifikatu.

$$abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0,abx+a^{2}y+a=0$$

Egin abx+a^{2}y+a=0 ken abx+\left(-b^{2}\right)y+8b=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$abx+\left(-ab\right)x+\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Gehitu bax eta -bax. Sinplifikatu egiten dira bax eta -bax. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\left(-b^{2}\right)y+\left(-a^{2}\right)y+8b-a=0$$

Gehitu -b^{2}y eta -a^{2}y.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y+8b-a=0$$

Egin ken 8b-a ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-a^{2}-b^{2}\right)y=a-8b$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -b^{2}-a^{2} balioarekin.

$$y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$

Ordeztu -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}} y balioarekin bx+ay+1=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$bx+a\left(-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}\right)+1=0$$

Egin a bider -\frac{-8b+a}{b^{2}+a^{2}}.

$$bx-\frac{a\left(a-8b\right)}{a^{2}+b^{2}}+1=0$$

Gehitu -\frac{a\left(-8b+a\right)}{b^{2}+a^{2}} eta 1.

$$bx+\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}=0$$

Egin ken \frac{b\left(8a+b\right)}{b^{2}+a^{2}} ekuazioaren bi aldeetan.

$$bx=-\frac{b\left(8a+b\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak b balioarekin.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{8a+b}{a^{2}+b^{2}},y=-\frac{a-8b}{a^{2}+b^{2}}$$