Resolver {l}{ax+by=e}{cx+dy=f}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a x + b y = e } \\ { c x + d y = f } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{bf-ed}{ad-bc}\text{, }y=-\frac{ec-af}{ad-bc}\text{, }&\left(d\neq 0\text{ or }b\neq 0\right)\text{ and }\left(d\neq 0\text{ or }c\neq 0\right)\text{ and }\left(d=0\text{ or }a\neq \frac{bc}{d}\text{ or }b=0\text{ or }c=0\right)\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-e}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a\neq 0\text{ and }c=\frac{af}{e}\text{ and }d=\frac{bf}{e}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{f}{d}\text{, }&b=\frac{ed}{f}\text{ and }f\neq 0\text{ and }d\neq 0\text{ and }a=0\text{ and }c=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 0\text{ and }f=0\text{ and }d=0\\x=-\frac{ed-bf}{bc}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&a=0\text{ and }c\neq 0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$ax+by=e$$

Egin ken by ekuazioaren bi aldeetan.

$$ax=\left(-b\right)y+e$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak a balioarekin.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+e\right)$$

Egin \frac{1}{a} bider -by+e.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}$$

Ordeztu \frac{-by+e}{a} balioa x balioarekin beste ekuazioan (cx+dy=f).

$$c\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}\right)+dy=f$$

Egin c bider \frac{-by+e}{a}.

$$\left(-\frac{bc}{a}\right)y+\frac{ec}{a}+dy=f$$

Gehitu -\frac{cby}{a} eta dy.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y+\frac{ec}{a}=f$$

Egin ken \frac{ce}{a} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y=f-\frac{ec}{a}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak d-\frac{cb}{a} balioarekin.

$$y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Ordeztu \frac{fa-ce}{da-cb} y balioarekin x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{af-ec}{ad-bc}+\frac{e}{a}$$

Egin -\frac{b}{a} bider \frac{fa-ce}{da-cb}.

$$x=-\frac{b\left(af-ec\right)}{a\left(ad-bc\right)}+\frac{e}{a}$$

Gehitu \frac{e}{a} eta -\frac{b\left(fa-ce\right)}{a\left(da-cb\right)}.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}e+\left(-\frac{b}{ad-bc}\right)f\\\left(-\frac{c}{ad-bc}\right)e+\frac{a}{ad-bc}f\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ed-bf}{ad-bc}\\\frac{af-ec}{ad-bc}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

ax eta cx berdintzeko, biderkatu c balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu a balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$cax+cby=ce,acx+ady=af$$

Sinplifikatu.

$$acx+bcy=ec,acx+ady=af$$

Egin acx+ady=af ken acx+bcy=ec berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$acx+\left(-ac\right)x+bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

Gehitu cax eta -cax. Sinplifikatu egiten dira cax eta -cax. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

Gehitu cby eta -ady.

$$\left(bc-ad\right)y=ec-af$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak cb-ad balioarekin.

$$y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

Ordeztu \frac{ce-af}{cb-ad} y balioarekin cx+dy=f ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$cx+d\times \frac{ec-af}{bc-ad}=f$$

Egin d bider \frac{ce-af}{cb-ad}.

$$cx+\frac{d\left(ec-af\right)}{bc-ad}=f$$

Egin ken \frac{d\left(ce-af\right)}{cb-ad} ekuazioaren bi aldeetan.

$$cx=\frac{c\left(bf-ed\right)}{bc-ad}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak c balioarekin.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad},y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

Ebatzi: x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{bf-ed}{ad-bc}\text{, }y=-\frac{ec-af}{ad-bc}\text{, }&\left(d\neq 0\text{ or }b\neq 0\right)\text{ and }\left(d\neq 0\text{ or }c\neq 0\right)\text{ and }\left(d=0\text{ or }a\neq \frac{bc}{d}\text{ or }b=0\text{ or }c=0\right)\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-e}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a\neq 0\text{ and }c=\frac{af}{e}\text{ and }d=\frac{bf}{e}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{f}{d}\text{, }&b=\frac{ed}{f}\text{ and }f\neq 0\text{ and }d\neq 0\text{ and }a=0\text{ and }c=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 0\text{ and }f=0\text{ and }d=0\\x=-\frac{ed-bf}{bc}\text{, }y=\frac{e}{b}\text{, }&a=0\text{ and }c\neq 0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$ax+by=e$$

Egin ken by ekuazioaren bi aldeetan.

$$ax=\left(-b\right)y+e$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak a balioarekin.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+e\right)$$

Egin \frac{1}{a} bider -by+e.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}$$

Ordeztu \frac{-by+e}{a} balioa x balioarekin beste ekuazioan (cx+dy=f).

$$c\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a}\right)+dy=f$$

Egin c bider \frac{-by+e}{a}.

$$\left(-\frac{bc}{a}\right)y+\frac{ec}{a}+dy=f$$

Gehitu -\frac{cby}{a} eta dy.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y+\frac{ec}{a}=f$$

Egin ken \frac{ce}{a} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\left(-\frac{bc}{a}+d\right)y=f-\frac{ec}{a}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak d-\frac{cb}{a} balioarekin.

$$y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Ordeztu \frac{fa-ce}{da-cb} y balioarekin x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{e}{a} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{af-ec}{ad-bc}+\frac{e}{a}$$

Egin -\frac{b}{a} bider \frac{fa-ce}{da-cb}.

$$x=-\frac{b\left(af-ec\right)}{a\left(ad-bc\right)}+\frac{e}{a}$$

Gehitu \frac{e}{a} eta -\frac{b\left(fa-ce\right)}{a\left(da-cb\right)}.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&-\frac{b}{ad-bc}\\-\frac{c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}e\\f\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}e+\left(-\frac{b}{ad-bc}\right)f\\\left(-\frac{c}{ad-bc}\right)e+\frac{a}{ad-bc}f\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ed-bf}{ad-bc}\\\frac{af-ec}{ad-bc}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{ed-bf}{ad-bc},y=\frac{af-ec}{ad-bc}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$ax+by=e,cx+dy=f$$

ax eta cx berdintzeko, biderkatu c balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu a balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$cax+cby=ce,acx+ady=af$$

Sinplifikatu.

$$acx+bcy=ec,acx+ady=af$$

Egin acx+ady=af ken acx+bcy=ec berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$acx+\left(-ac\right)x+bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

Gehitu cax eta -cax. Sinplifikatu egiten dira cax eta -cax. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$bcy+\left(-ad\right)y=ec-af$$

Gehitu cby eta -ady.

$$\left(bc-ad\right)y=ec-af$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak cb-ad balioarekin.

$$y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$

Ordeztu \frac{ce-af}{cb-ad} y balioarekin cx+dy=f ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$cx+d\times \frac{ec-af}{bc-ad}=f$$

Egin d bider \frac{ce-af}{cb-ad}.

$$cx+\frac{d\left(ec-af\right)}{bc-ad}=f$$

Egin ken \frac{d\left(ce-af\right)}{cb-ad} ekuazioaren bi aldeetan.

$$cx=\frac{c\left(bf-ed\right)}{bc-ad}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak c balioarekin.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{bf-ed}{bc-ad},y=\frac{ec-af}{bc-ad}$$