Resolver {l}{a+b=7}{10a+b+45=10b+a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + b = 7 } \\ { 10 a + b + 45 = 10 b + a } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=1$$

$$b=6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 10b bi aldeetatik.

$$10a+b+45-10b=a$$

-9b lortzeko, konbinatu b eta -10b.

$$10a-9b+45=a$$

Kendu a bi aldeetatik.

$$10a-9b+45-a=0$$

9a lortzeko, konbinatu 10a eta -a.

$$9a-9b+45=0$$

Kendu 45 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$9a-9b=-45$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$a+b=7,9a-9b=-45$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$a+b=7$$

Egin ken b ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=-b+7$$

Ordeztu -b+7 balioa a balioarekin beste ekuazioan (9a-9b=-45).

$$9\left(-b+7\right)-9b=-45$$

Egin 9 bider -b+7.

$$-9b+63-9b=-45$$

Gehitu -9b eta -9b.

$$-18b+63=-45$$

Egin ken 63 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-18b=-108$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -18 balioarekin.

$$b=6$$

Ordeztu 6 b balioarekin a=-b+7 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-6+7$$

Gehitu 7 eta -6.

$$a=1$$

Ebatzi da sistema.

$$a=1,b=6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 10b bi aldeetatik.

$$10a+b+45-10b=a$$

-9b lortzeko, konbinatu b eta -10b.

$$10a-9b+45=a$$

Kendu a bi aldeetatik.

$$10a-9b+45-a=0$$

9a lortzeko, konbinatu 10a eta -a.

$$9a-9b+45=0$$

Kendu 45 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$9a-9b=-45$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$a+b=7,9a-9b=-45$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\9&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-9-9}&-\frac{1}{-9-9}\\-\frac{9}{-9-9}&\frac{1}{-9-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-45\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{18}\left(-45\right)\\\frac{1}{2}\times 7-\frac{1}{18}\left(-45\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\6\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=1,b=6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 10b bi aldeetatik.

$$10a+b+45-10b=a$$

-9b lortzeko, konbinatu b eta -10b.

$$10a-9b+45=a$$

Kendu a bi aldeetatik.

$$10a-9b+45-a=0$$

9a lortzeko, konbinatu 10a eta -a.

$$9a-9b+45=0$$

Kendu 45 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$9a-9b=-45$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$a+b=7,9a-9b=-45$$

a eta 9a berdintzeko, biderkatu 9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$9a+9b=9\times 7,9a-9b=-45$$

Sinplifikatu.

$$9a+9b=63,9a-9b=-45$$

Egin 9a-9b=-45 ken 9a+9b=63 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$9a-9a+9b+9b=63+45$$

Gehitu 9a eta -9a. Sinplifikatu egiten dira 9a eta -9a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$9b+9b=63+45$$

Gehitu 9b eta 9b.

$$18b=63+45$$

Gehitu 63 eta 45.

$$18b=108$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 18 balioarekin.

$$b=6$$

Ordeztu 6 b balioarekin 9a-9b=-45 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$9a-9\times 6=-45$$

Egin -9 bider 6.

$$9a-54=-45$$

Gehitu 54 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9a=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$a=1$$

Ebatzi da sistema.

$$a=1,b=6$$