Resolver {l}{a+5b=2}{a-2b=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 5 b = 2 } \\ { a - 2 b = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} \approx 1.285714286$$

$$b=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$a+5b=2,a-2b=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$a+5b=2$$

Egin ken 5b ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=-5b+2$$

Ordeztu -5b+2 balioa a balioarekin beste ekuazioan (a-2b=1).

$$-5b+2-2b=1$$

Gehitu -5b eta -2b.

$$-7b+2=1$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7b=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$b=\frac{1}{7}$$

Ordeztu \frac{1}{7} b balioarekin a=-5b+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-5\times \frac{1}{7}+2$$

Egin -5 bider \frac{1}{7}.

$$a=-\frac{5}{7}+2$$

Gehitu 2 eta -\frac{5}{7}.

$$a=\frac{9}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$a+5b=2,a-2b=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5}&-\frac{5}{-2-5}\\-\frac{1}{-2-5}&\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{5}{7}\\\frac{1}{7}\times 2-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7}\\\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$a+5b=2,a-2b=1$$

Egin a-2b=1 ken a+5b=2 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$a-a+5b+2b=2-1$$

Gehitu a eta -a. Sinplifikatu egiten dira a eta -a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5b+2b=2-1$$

Gehitu 5b eta 2b.

$$7b=2-1$$

Gehitu 2 eta -1.

$$7b=1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$b=\frac{1}{7}$$

Ordeztu \frac{1}{7} b balioarekin a-2b=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a-2\times \frac{1}{7}=1$$

Egin -2 bider \frac{1}{7}.

$$a-\frac{2}{7}=1$$

Gehitu \frac{2}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=\frac{9}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{9}{7},b=\frac{1}{7}$$