Resolver {l}{a+4b=8}{3b=5-a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 4 b = 8 } \\ { 3 b = 5 - a } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=-4$$

$$b=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu a bi aldeetan.

$$3b+a=5$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$a+4b=8$$

Egin ken 4b ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=-4b+8$$

Ordeztu -4b+8 balioa a balioarekin beste ekuazioan (a+3b=5).

$$-4b+8+3b=5$$

Gehitu -4b eta 3b.

$$-b+8=5$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-b=-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$b=3$$

Ordeztu 3 b balioarekin a=-4b+8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-4\times 3+8$$

Egin -4 bider 3.

$$a=-12+8$$

Gehitu 8 eta -12.

$$a=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$a=-4,b=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu a bi aldeetan.

$$3b+a=5$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4}&-\frac{4}{3-4}\\-\frac{1}{3-4}&\frac{1}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&4\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 8+4\times 5\\8-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\3\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=-4,b=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu a bi aldeetan.

$$3b+a=5$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$a+4b=8,a+3b=5$$

Egin a+3b=5 ken a+4b=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$a-a+4b-3b=8-5$$

Gehitu a eta -a. Sinplifikatu egiten dira a eta -a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$4b-3b=8-5$$

Gehitu 4b eta -3b.

$$b=8-5$$

Gehitu 8 eta -5.

$$b=3$$

Ordeztu 3 b balioarekin a+3b=5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a+3\times 3=5$$

Egin 3 bider 3.

$$a+9=5$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=-4$$

Ebatzi da sistema.

$$a=-4,b=3$$