Resolver {l}{a+3b=6}{a-6b=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 3 b = 6 } \\ { a - 6 b = 12 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=8$$

$$b=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$a+3b=6,a-6b=12$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$a+3b=6$$

Egin ken 3b ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=-3b+6$$

Ordeztu -3b+6 balioa a balioarekin beste ekuazioan (a-6b=12).

$$-3b+6-6b=12$$

Gehitu -3b eta -6b.

$$-9b+6=12$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9b=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$b=-\frac{2}{3}$$

Ordeztu -\frac{2}{3} b balioarekin a=-3b+6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-3\left(-\frac{2}{3}\right)+6$$

Egin -3 bider -\frac{2}{3}.

$$a=2+6$$

Gehitu 6 eta 2.

$$a=8$$

Ebatzi da sistema.

$$a=8,b=-\frac{2}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$a+3b=6,a-6b=12$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\1&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{-6-3}&-\frac{3}{-6-3}\\-\frac{1}{-6-3}&\frac{1}{-6-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 6+\frac{1}{3}\times 12\\\frac{1}{9}\times 6-\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=8,b=-\frac{2}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$a+3b=6,a-6b=12$$

Egin a-6b=12 ken a+3b=6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$a-a+3b+6b=6-12$$

Gehitu a eta -a. Sinplifikatu egiten dira a eta -a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3b+6b=6-12$$

Gehitu 3b eta 6b.

$$9b=6-12$$

Gehitu 6 eta -12.

$$9b=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$b=-\frac{2}{3}$$

Ordeztu -\frac{2}{3} b balioarekin a-6b=12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a-6\left(-\frac{2}{3}\right)=12$$

Egin -6 bider -\frac{2}{3}.

$$a+4=12$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=8$$

Ebatzi da sistema.

$$a=8,b=-\frac{2}{3}$$