Resolver {l}{a+3b=2}{2a-3b=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 3 b = 2 } \\ { 2 a - 3 b = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

$$b=-\frac{4}{9}\approx -0.444444444$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$a+3b=2,2a-3b=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$a+3b=2$$

Egin ken 3b ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=-3b+2$$

Ordeztu -3b+2 balioa a balioarekin beste ekuazioan (2a-3b=8).

$$2\left(-3b+2\right)-3b=8$$

Egin 2 bider -3b+2.

$$-6b+4-3b=8$$

Gehitu -6b eta -3b.

$$-9b+4=8$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9b=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$b=-\frac{4}{9}$$

Ordeztu -\frac{4}{9} b balioarekin a=-3b+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-3\left(-\frac{4}{9}\right)+2$$

Egin -3 bider -\frac{4}{9}.

$$a=\frac{4}{3}+2$$

Gehitu 2 eta \frac{4}{3}.

$$a=\frac{10}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{10}{3},b=-\frac{4}{9}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$a+3b=2,2a-3b=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-3\times 2}&-\frac{3}{-3-3\times 2}\\-\frac{2}{-3-3\times 2}&\frac{1}{-3-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 2+\frac{1}{3}\times 8\\\frac{2}{9}\times 2-\frac{1}{9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{3}\\-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=\frac{10}{3},b=-\frac{4}{9}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$a+3b=2,2a-3b=8$$

a eta 2a berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2a+2\times 3b=2\times 2,2a-3b=8$$

Sinplifikatu.

$$2a+6b=4,2a-3b=8$$

Egin 2a-3b=8 ken 2a+6b=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2a-2a+6b+3b=4-8$$

Gehitu 2a eta -2a. Sinplifikatu egiten dira 2a eta -2a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6b+3b=4-8$$

Gehitu 6b eta 3b.

$$9b=4-8$$

Gehitu 4 eta -8.

$$9b=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$b=-\frac{4}{9}$$

Ordeztu -\frac{4}{9} b balioarekin 2a-3b=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$2a-3\left(-\frac{4}{9}\right)=8$$

Egin -3 bider -\frac{4}{9}.

$$2a+\frac{4}{3}=8$$

Egin ken \frac{4}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2a=\frac{20}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$a=\frac{10}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$a=\frac{10}{3},b=-\frac{4}{9}$$