Resolver {l}{9x-4y=8}{6x-2y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x - 4 y = 8 } \\ { 6 x - 2 y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$9x-4y=8$$

Gehitu 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=4y+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+8\right)$$

Egin \frac{1}{9} bider 8+4y.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}$$

Ordeztu \frac{8+4y}{9} balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x-2y=3).

$$6\left(\frac{4}{9}y+\frac{8}{9}\right)-2y=3$$

Egin 6 bider \frac{8+4y}{9}.

$$\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}-2y=3$$

Gehitu \frac{8y}{3} eta -2y.

$$\frac{2}{3}y+\frac{16}{3}=3$$

Egin ken \frac{16}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{2}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{2}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Ordeztu -\frac{7}{2} y balioarekin x=\frac{4}{9}y+\frac{8}{9} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{4}{9}\left(-\frac{7}{2}\right)+\frac{8}{9}$$

Egin \frac{4}{9} bider -\frac{7}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-14+8}{9}$$

Gehitu \frac{8}{9} eta -\frac{14}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&-\frac{-4}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\\-\frac{6}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}&\frac{9}{9\left(-2\right)-\left(-4\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-1&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 8+\frac{2}{3}\times 3\\-8+\frac{3}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$9x-4y=8,6x-2y=3$$

9x eta 6x berdintzeko, biderkatu 6 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6\times 9x+6\left(-4\right)y=6\times 8,9\times 6x+9\left(-2\right)y=9\times 3$$

Sinplifikatu.

$$54x-24y=48,54x-18y=27$$

Egin 54x-18y=27 ken 54x-24y=48 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$54x-54x-24y+18y=48-27$$

Gehitu 54x eta -54x. Sinplifikatu egiten dira 54x eta -54x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-24y+18y=48-27$$

Gehitu -24y eta 18y.

$$-6y=48-27$$

Gehitu 48 eta -27.

$$-6y=21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=-\frac{7}{2}$$

Ordeztu -\frac{7}{2} y balioarekin 6x-2y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x-2\left(-\frac{7}{2}\right)=3$$

Egin -2 bider -\frac{7}{2}.

$$6x+7=3$$

Egin ken 7 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{7}{2}$$