Resolver {l}{9x+y=31}{5x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + y = 31 } \\ { 5 x - y = 11 } \end{array} \right\}$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$9x+y=31,5x-y=11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$9x+y=31$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=-y+31$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+31\right)$$

Egin \frac{1}{9} bider -y+31.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9}$$

Ordeztu \frac{-y+31}{9} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-y=11).

$$5\left(-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9}\right)-y=11$$

Egin 5 bider \frac{-y+31}{9}.

$$-\frac{5}{9}y+\frac{155}{9}-y=11$$

Gehitu -\frac{5y}{9} eta -y.

$$-\frac{14}{9}y+\frac{155}{9}=11$$

Egin ken \frac{155}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{14}{9}y=-\frac{56}{9}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{14}{9} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=-\frac{1}{9}y+\frac{31}{9} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{9}\times 4+\frac{31}{9}$$

Egin -\frac{1}{9} bider 4.

$$x=\frac{-4+31}{9}$$

Gehitu \frac{31}{9} eta -\frac{4}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$9x+y=31,5x-y=11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{9\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{9\left(-1\right)-5}&\frac{9}{9\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\\\frac{5}{14}&-\frac{9}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 31+\frac{1}{14}\times 11\\\frac{5}{14}\times 31-\frac{9}{14}\times 11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$9x+y=31,5x-y=11$$

9x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 9x+5y=5\times 31,9\times 5x+9\left(-1\right)y=9\times 11$$

Sinplifikatu.

$$45x+5y=155,45x-9y=99$$

Egin 45x-9y=99 ken 45x+5y=155 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$45x-45x+5y+9y=155-99$$

Gehitu 45x eta -45x. Sinplifikatu egiten dira 45x eta -45x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5y+9y=155-99$$

Gehitu 5y eta 9y.

$$14y=155-99$$

Gehitu 155 eta -99.

$$14y=56$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 14 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin 5x-y=11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-4=11$$

Gehitu 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=15$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=4$$