Resolver {l}{9x+2y=62}{4x+3y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 x + 2 y = 62 } \\ { 4 x + 3 y = 36 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=6$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$9x+2y=62$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=-2y+62$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=\frac{1}{9}\left(-2y+62\right)$$

Egin \frac{1}{9} bider -2y+62.

$$x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}$$

Ordeztu \frac{-2y+62}{9} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x+3y=36).

$$4\left(-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9}\right)+3y=36$$

Egin 4 bider \frac{-2y+62}{9}.

$$-\frac{8}{9}y+\frac{248}{9}+3y=36$$

Gehitu -\frac{8y}{9} eta 3y.

$$\frac{19}{9}y+\frac{248}{9}=36$$

Egin ken \frac{248}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{19}{9}y=\frac{76}{9}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{19}{9} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=-\frac{2}{9}y+\frac{62}{9} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{9}\times 4+\frac{62}{9}$$

Egin -\frac{2}{9} bider 4.

$$x=\frac{-8+62}{9}$$

Gehitu \frac{62}{9} eta -\frac{8}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&2\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-2\times 4}&-\frac{2}{9\times 3-2\times 4}\\-\frac{4}{9\times 3-2\times 4}&\frac{9}{9\times 3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{9}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\36\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\times 62-\frac{2}{19}\times 36\\-\frac{4}{19}\times 62+\frac{9}{19}\times 36\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=6,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$9x+2y=62,4x+3y=36$$

9x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 9x+4\times 2y=4\times 62,9\times 4x+9\times 3y=9\times 36$$

Sinplifikatu.

$$36x+8y=248,36x+27y=324$$

Egin 36x+27y=324 ken 36x+8y=248 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$36x-36x+8y-27y=248-324$$

Gehitu 36x eta -36x. Sinplifikatu egiten dira 36x eta -36x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8y-27y=248-324$$

Gehitu 8y eta -27y.

$$-19y=248-324$$

Gehitu 248 eta -324.

$$-19y=-76$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -19 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin 4x+3y=36 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x+3\times 4=36$$

Egin 3 bider 4.

$$4x+12=36$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=4$$