Resolver {l}{9m-13n=22}{2m+3n=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 13 n = 22 } \\ { 2 m + 3 n = - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: m, n

$$m=1$$

$$n=-1$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi m. Horretarako, isolatu m berdin ikurraren ezkerraldean.

$$9m-13n=22$$

Gehitu 13n ekuazioaren bi aldeetan.

$$9m=13n+22$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$m=\frac{1}{9}\left(13n+22\right)$$

Egin \frac{1}{9} bider 13n+22.

$$m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}$$

Ordeztu \frac{13n+22}{9} balioa m balioarekin beste ekuazioan (2m+3n=-1).

$$2\left(\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}\right)+3n=-1$$

Egin 2 bider \frac{13n+22}{9}.

$$\frac{26}{9}n+\frac{44}{9}+3n=-1$$

Gehitu \frac{26n}{9} eta 3n.

$$\frac{53}{9}n+\frac{44}{9}=-1$$

Egin ken \frac{44}{9} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{53}{9}n=-\frac{53}{9}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{53}{9} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$n=-1$$

Ordeztu -1 n balioarekin m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$m=\frac{13}{9}\left(-1\right)+\frac{22}{9}$$

Egin \frac{13}{9} bider -1.

$$m=\frac{-13+22}{9}$$

Gehitu \frac{22}{9} eta -\frac{13}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$m=1$$

Ebatzi da sistema.

$$m=1,n=-1$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&-\frac{-13}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{13}{53}\\-\frac{2}{53}&\frac{9}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 22+\frac{13}{53}\left(-1\right)\\-\frac{2}{53}\times 22+\frac{9}{53}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Atera m eta n matrize-elementuak.

$$m=1,n=-1$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

9m eta 2m berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 9 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 9m+2\left(-13\right)n=2\times 22,9\times 2m+9\times 3n=9\left(-1\right)$$

Sinplifikatu.

$$18m-26n=44,18m+27n=-9$$

Egin 18m+27n=-9 ken 18m-26n=44 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$18m-18m-26n-27n=44+9$$

Gehitu 18m eta -18m. Sinplifikatu egiten dira 18m eta -18m. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-26n-27n=44+9$$

Gehitu -26n eta -27n.

$$-53n=44+9$$

Gehitu 44 eta 9.

$$-53n=53$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -53 balioarekin.

$$n=-1$$

Ordeztu -1 n balioarekin 2m+3n=-1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, m ebatz dezakezu zuzenean.

$$2m+3\left(-1\right)=-1$$

Egin 3 bider -1.

$$2m-3=-1$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2m=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$m=1$$

Ebatzi da sistema.

$$m=1,n=-1$$