Resolver {l}{8x-4y=2}{2x+3y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x - 4 y = 2 } \\ { 2 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{15}{16}=0.9375$$

$$y = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} = 1.375$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8x-4y=2$$

Gehitu 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=4y+2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{8}\left(4y+2\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider 4y+2.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}$$

Ordeztu \frac{y}{2}+\frac{1}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+3y=6).

$$2\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}\right)+3y=6$$

Egin 2 bider \frac{y}{2}+\frac{1}{4}.

$$y+\frac{1}{2}+3y=6$$

Gehitu y eta 3y.

$$4y+\frac{1}{2}=6$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=\frac{11}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=\frac{11}{8}$$

Ordeztu \frac{11}{8} y balioarekin x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{11}{8}+\frac{1}{4}$$

Egin \frac{1}{2} bider \frac{11}{8}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{11}{16}+\frac{1}{4}$$

Gehitu \frac{1}{4} eta \frac{11}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{15}{16}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}\times 2+\frac{1}{8}\times 6\\-\frac{1}{16}\times 2+\frac{1}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{16}\\\frac{11}{8}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

8x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 8x+2\left(-4\right)y=2\times 2,8\times 2x+8\times 3y=8\times 6$$

Sinplifikatu.

$$16x-8y=4,16x+24y=48$$

Egin 16x+24y=48 ken 16x-8y=4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$16x-16x-8y-24y=4-48$$

Gehitu 16x eta -16x. Sinplifikatu egiten dira 16x eta -16x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8y-24y=4-48$$

Gehitu -8y eta -24y.

$$-32y=4-48$$

Gehitu 4 eta -48.

$$-32y=-44$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -32 balioarekin.

$$y=\frac{11}{8}$$

Ordeztu \frac{11}{8} y balioarekin 2x+3y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+3\times \frac{11}{8}=6$$

Egin 3 bider \frac{11}{8}.

$$2x+\frac{33}{8}=6$$

Egin ken \frac{33}{8} ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=\frac{15}{8}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=\frac{15}{16}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$