Resolver {l}{8x+3y=25}{2x+3y=13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 3 y = 25 } \\ { 2 x + 3 y = 13 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8x+3y=25$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=-3y+25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{8}\left(-3y+25\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider -3y+25.

$$x=-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8}$$

Ordeztu \frac{-3y+25}{8} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+3y=13).

$$2\left(-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8}\right)+3y=13$$

Egin 2 bider \frac{-3y+25}{8}.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{25}{4}+3y=13$$

Gehitu -\frac{3y}{4} eta 3y.

$$\frac{9}{4}y+\frac{25}{4}=13$$

Egin ken \frac{25}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{9}{4}y=\frac{27}{4}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{9}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-\frac{3}{8}y+\frac{25}{8} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{8}\times 3+\frac{25}{8}$$

Egin -\frac{3}{8} bider 3.

$$x=\frac{-9+25}{8}$$

Gehitu \frac{25}{8} eta -\frac{9}{8} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&3\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-3\times 2}&-\frac{3}{8\times 3-3\times 2}\\-\frac{2}{8\times 3-3\times 2}&\frac{8}{8\times 3-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 25-\frac{1}{6}\times 13\\-\frac{1}{9}\times 25+\frac{4}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8x+3y=25,2x+3y=13$$

Egin 2x+3y=13 ken 8x+3y=25 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$8x-2x+3y-3y=25-13$$

Gehitu 3y eta -3y. Sinplifikatu egiten dira 3y eta -3y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8x-2x=25-13$$

Gehitu 8x eta -2x.

$$6x=25-13$$

Gehitu 25 eta -13.

$$6x=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin 2x+3y=13 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$2\times 2+3y=13$$

Egin 2 bider 2.

$$4+3y=13$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=3$$