Resolver {l}{7x-8y=9}{4x-13y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x - 13 y = - 10 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{197}{59} = 3\frac{20}{59} \approx 3.338983051$$

$$y = \frac{106}{59} = 1\frac{47}{59} \approx 1.796610169$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x-8y=9$$

Gehitu 8y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=8y+9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(8y+9\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider 8y+9.

$$x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}$$

Ordeztu \frac{8y+9}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-13y=-10).

$$4\left(\frac{8}{7}y+\frac{9}{7}\right)-13y=-10$$

Egin 4 bider \frac{8y+9}{7}.

$$\frac{32}{7}y+\frac{36}{7}-13y=-10$$

Gehitu \frac{32y}{7} eta -13y.

$$-\frac{59}{7}y+\frac{36}{7}=-10$$

Egin ken \frac{36}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{59}{7}y=-\frac{106}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{59}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{106}{59}$$

Ordeztu \frac{106}{59} y balioarekin x=\frac{8}{7}y+\frac{9}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{8}{7}\times \frac{106}{59}+\frac{9}{7}$$

Egin \frac{8}{7} bider \frac{106}{59}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{848}{413}+\frac{9}{7}$$

Gehitu \frac{9}{7} eta \frac{848}{413} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{197}{59}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-8\\4&-13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}&\frac{7}{7\left(-13\right)-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}&-\frac{8}{59}\\\frac{4}{59}&-\frac{7}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{59}\times 9-\frac{8}{59}\left(-10\right)\\\frac{4}{59}\times 9-\frac{7}{59}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{197}{59}\\\frac{106}{59}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x-8y=9,4x-13y=-10$$

7x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 7x+4\left(-8\right)y=4\times 9,7\times 4x+7\left(-13\right)y=7\left(-10\right)$$

Sinplifikatu.

$$28x-32y=36,28x-91y=-70$$

Egin 28x-91y=-70 ken 28x-32y=36 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$28x-28x-32y+91y=36+70$$

Gehitu 28x eta -28x. Sinplifikatu egiten dira 28x eta -28x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-32y+91y=36+70$$

Gehitu -32y eta 91y.

$$59y=36+70$$

Gehitu 36 eta 70.

$$59y=106$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 59 balioarekin.

$$y=\frac{106}{59}$$

Ordeztu \frac{106}{59} y balioarekin 4x-13y=-10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-13\times \frac{106}{59}=-10$$

Egin -13 bider \frac{106}{59}.

$$4x-\frac{1378}{59}=-10$$

Gehitu \frac{1378}{59} ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=\frac{788}{59}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{197}{59}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{197}{59},y=\frac{106}{59}$$