Resolver {l}{7x+3y=43}{4x-3y=67}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 43 } \\ { 4 x - 3 y = 67 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=10$$

$$y=-9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x+3y=43$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-3y+43$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+43\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider -3y+43.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}$$

Ordeztu \frac{-3y+43}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-3y=67).

$$4\left(-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7}\right)-3y=67$$

Egin 4 bider \frac{-3y+43}{7}.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{172}{7}-3y=67$$

Gehitu -\frac{12y}{7} eta -3y.

$$-\frac{33}{7}y+\frac{172}{7}=67$$

Egin ken \frac{172}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{33}{7}y=\frac{297}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{33}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-9$$

Ordeztu -9 y balioarekin x=-\frac{3}{7}y+\frac{43}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{3}{7}\left(-9\right)+\frac{43}{7}$$

Egin -\frac{3}{7} bider -9.

$$x=\frac{27+43}{7}$$

Gehitu \frac{43}{7} eta \frac{27}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=-9$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{7\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{7}{7\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{4}{33}&-\frac{7}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\67\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 43+\frac{1}{11}\times 67\\\frac{4}{33}\times 43-\frac{7}{33}\times 67\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-9\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=10,y=-9$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x+3y=43,4x-3y=67$$

7x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 7x+4\times 3y=4\times 43,7\times 4x+7\left(-3\right)y=7\times 67$$

Sinplifikatu.

$$28x+12y=172,28x-21y=469$$

Egin 28x-21y=469 ken 28x+12y=172 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$28x-28x+12y+21y=172-469$$

Gehitu 28x eta -28x. Sinplifikatu egiten dira 28x eta -28x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$12y+21y=172-469$$

Gehitu 12y eta 21y.

$$33y=172-469$$

Gehitu 172 eta -469.

$$33y=-297$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 33 balioarekin.

$$y=-9$$

Ordeztu -9 y balioarekin 4x-3y=67 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-3\left(-9\right)=67$$

Egin -3 bider -9.

$$4x+27=67$$

Egin ken 27 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=10$$

Ebatzi da sistema.

$$x=10,y=-9$$