Resolver {l}{7x+2y=24}{8x+2y=30}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 2 y = 24 } \\ { 8 x + 2 y = 30 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=6$$

$$y=-9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x+2y=24$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-2y+24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y+24\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider -2y+24.

$$x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}$$

Ordeztu \frac{-2y+24}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (8x+2y=30).

$$8\left(-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7}\right)+2y=30$$

Egin 8 bider \frac{-2y+24}{7}.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{192}{7}+2y=30$$

Gehitu -\frac{16y}{7} eta 2y.

$$-\frac{2}{7}y+\frac{192}{7}=30$$

Egin ken \frac{192}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{2}{7}y=\frac{18}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{2}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-9$$

Ordeztu -9 y balioarekin x=-\frac{2}{7}y+\frac{24}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{2}{7}\left(-9\right)+\frac{24}{7}$$

Egin -\frac{2}{7} bider -9.

$$x=\frac{18+24}{7}$$

Gehitu \frac{24}{7} eta \frac{18}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=-9$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\8&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-2\times 8}&-\frac{2}{7\times 2-2\times 8}\\-\frac{8}{7\times 2-2\times 8}&\frac{7}{7\times 2-2\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\4&-\frac{7}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\30\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24+30\\4\times 24-\frac{7}{2}\times 30\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-9\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=6,y=-9$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x+2y=24,8x+2y=30$$

Egin 8x+2y=30 ken 7x+2y=24 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$7x-8x+2y-2y=24-30$$

Gehitu 2y eta -2y. Sinplifikatu egiten dira 2y eta -2y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$7x-8x=24-30$$

Gehitu 7x eta -8x.

$$-x=24-30$$

Gehitu 24 eta -30.

$$-x=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=6$$

Ordeztu 6 x balioarekin 8x+2y=30 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$8\times 6+2y=30$$

Egin 8 bider 6.

$$48+2y=30$$

Egin ken 48 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2y=-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=-9$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=-9$$