Resolver {l}{7x+18y=43}{2(x-3)+5=y-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-3 biderkatzeko.

$$2x-6+5=y-1$$

-1 lortzeko, gehitu -6 eta 5.

$$2x-1=y-1$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$2x-1-y=-1$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$2x-y=-1+1$$

0 lortzeko, gehitu -1 eta 1.

$$2x-y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7x+18y=43$$

Egin ken 18y ekuazioaren bi aldeetan.

$$7x=-18y+43$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider -18y+43.

$$x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}$$

Ordeztu \frac{-18y+43}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-y=0).

$$2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0$$

Egin 2 bider \frac{-18y+43}{7}.

$$-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0$$

Gehitu -\frac{36y}{7} eta -y.

$$-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0$$

Egin ken \frac{86}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{43}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}$$

Egin -\frac{18}{7} bider 2.

$$x=\frac{-36+43}{7}$$

Gehitu \frac{43}{7} eta -\frac{36}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-3 biderkatzeko.

$$2x-6+5=y-1$$

-1 lortzeko, gehitu -6 eta 5.

$$2x-1=y-1$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$2x-1-y=-1$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$2x-y=-1+1$$

0 lortzeko, gehitu -1 eta 1.

$$2x-y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-3 biderkatzeko.

$$2x-6+5=y-1$$

-1 lortzeko, gehitu -6 eta 5.

$$2x-1=y-1$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$2x-1-y=-1$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$2x-y=-1+1$$

0 lortzeko, gehitu -1 eta 1.

$$2x-y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

7x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0$$

Sinplifikatu.

$$14x+36y=86,14x-7y=0$$

Egin 14x-7y=0 ken 14x+36y=86 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$14x-14x+36y+7y=86$$

Gehitu 14x eta -14x. Sinplifikatu egiten dira 14x eta -14x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$36y+7y=86$$

Gehitu 36y eta 7y.

$$43y=86$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 43 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 2x-y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-2=0$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=2$$