Resolver {l}{7n+46=a}{11n+2=a}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 n + 46 = a } \\ { 11 n + 2 = a } \end{array} \right.$$

Ebatzi: n, a

$$n=11$$

$$a=123$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu a bi aldeetatik.

$$7n+46-a=0$$

Kendu 46 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$7n-a=-46$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu a bi aldeetatik.

$$11n+2-a=0$$

Kendu 2 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$11n-a=-2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi n. Horretarako, isolatu n berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7n-a=-46$$

Gehitu a ekuazioaren bi aldeetan.

$$7n=a-46$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$n=\frac{1}{7}\left(a-46\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider a-46.

$$n=\frac{1}{7}a-\frac{46}{7}$$

Ordeztu \frac{-46+a}{7} balioa n balioarekin beste ekuazioan (11n-a=-2).

$$11\left(\frac{1}{7}a-\frac{46}{7}\right)-a=-2$$

Egin 11 bider \frac{-46+a}{7}.

$$\frac{11}{7}a-\frac{506}{7}-a=-2$$

Gehitu \frac{11a}{7} eta -a.

$$\frac{4}{7}a-\frac{506}{7}=-2$$

Gehitu \frac{506}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{4}{7}a=\frac{492}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{4}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$a=123$$

Ordeztu 123 a balioarekin n=\frac{1}{7}a-\frac{46}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, n ebatz dezakezu zuzenean.

$$n=\frac{1}{7}\times 123-\frac{46}{7}$$

Egin \frac{1}{7} bider 123.

$$n=\frac{123-46}{7}$$

Gehitu -\frac{46}{7} eta \frac{123}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$n=11$$

Ebatzi da sistema.

$$n=11,a=123$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu a bi aldeetatik.

$$7n+46-a=0$$

Kendu 46 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$7n-a=-46$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu a bi aldeetatik.

$$11n+2-a=0$$

Kendu 2 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$11n-a=-2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-46\right)+\frac{1}{4}\left(-2\right)\\-\frac{11}{4}\left(-46\right)+\frac{7}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\123\end{matrix}\right)$$

Atera n eta a matrize-elementuak.

$$n=11,a=123$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu a bi aldeetatik.

$$7n+46-a=0$$

Kendu 46 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$7n-a=-46$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu a bi aldeetatik.

$$11n+2-a=0$$

Kendu 2 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$11n-a=-2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

Egin 11n-a=-2 ken 7n-a=-46 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$7n-11n-a+a=-46+2$$

Gehitu -a eta a. Sinplifikatu egiten dira -a eta a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$7n-11n=-46+2$$

Gehitu 7n eta -11n.

$$-4n=-46+2$$

Gehitu -46 eta 2.

$$-4n=-44$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$n=11$$

Ordeztu 11 n balioarekin 11n-a=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$11\times 11-a=-2$$

Egin 11 bider 11.

$$121-a=-2$$

Egin ken 121 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-a=-123$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$a=123$$

Ebatzi da sistema.

$$n=11,a=123$$