Resolver {l}{7a-10b=-64}{5b+3a=19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 a - 10 b = - 64 } \\ { 5 b + 3 a = 19 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=-2$$

$$b=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7a-10b=-64$$

Gehitu 10b ekuazioaren bi aldeetan.

$$7a=10b-64$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$a=\frac{1}{7}\left(10b-64\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider 10b-64.

$$a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}$$

Ordeztu \frac{10b-64}{7} balioa a balioarekin beste ekuazioan (3a+5b=19).

$$3\left(\frac{10}{7}b-\frac{64}{7}\right)+5b=19$$

Egin 3 bider \frac{10b-64}{7}.

$$\frac{30}{7}b-\frac{192}{7}+5b=19$$

Gehitu \frac{30b}{7} eta 5b.

$$\frac{65}{7}b-\frac{192}{7}=19$$

Gehitu \frac{192}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{65}{7}b=\frac{325}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{65}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=5$$

Ordeztu 5 b balioarekin a=\frac{10}{7}b-\frac{64}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=\frac{10}{7}\times 5-\frac{64}{7}$$

Egin \frac{10}{7} bider 5.

$$a=\frac{50-64}{7}$$

Gehitu -\frac{64}{7} eta \frac{50}{7} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$a=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$a=-2,b=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-10\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&-\frac{-10}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\\-\frac{3}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}&\frac{7}{7\times 5-\left(-10\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\\-\frac{3}{65}&\frac{7}{65}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\19\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-64\right)+\frac{2}{13}\times 19\\-\frac{3}{65}\left(-64\right)+\frac{7}{65}\times 19\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\5\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=-2,b=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7a-10b=-64,3a+5b=19$$

7a eta 3a berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 7a+3\left(-10\right)b=3\left(-64\right),7\times 3a+7\times 5b=7\times 19$$

Sinplifikatu.

$$21a-30b=-192,21a+35b=133$$

Egin 21a+35b=133 ken 21a-30b=-192 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$21a-21a-30b-35b=-192-133$$

Gehitu 21a eta -21a. Sinplifikatu egiten dira 21a eta -21a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-30b-35b=-192-133$$

Gehitu -30b eta -35b.

$$-65b=-192-133$$

Gehitu -192 eta -133.

$$-65b=-325$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -65 balioarekin.

$$b=5$$

Ordeztu 5 b balioarekin 3a+5b=19 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$3a+5\times 5=19$$

Egin 5 bider 5.

$$3a+25=19$$

Egin ken 25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3a=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$a=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$a=-2,b=5$$