Resolver {l}{6x-y=5}{4x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - y = 5 } \\ { 4 x - y = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x-y=5,4x-y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x-y=5$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(y+5\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider y+5.

$$x=\frac{1}{6}y+\frac{5}{6}$$

Ordeztu \frac{5+y}{6} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-y=1).

$$4\left(\frac{1}{6}y+\frac{5}{6}\right)-y=1$$

Egin 4 bider \frac{5+y}{6}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y=1$$

Gehitu \frac{2y}{3} eta -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}=1$$

Egin ken \frac{10}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin x=\frac{1}{6}y+\frac{5}{6} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{6}\times 7+\frac{5}{6}$$

Egin \frac{1}{6} bider 7.

$$x=\frac{7+5}{6}$$

Gehitu \frac{5}{6} eta \frac{7}{6} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x-y=5,4x-y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{6\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{6\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{6}{6\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\\2\times 5-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x-y=5,4x-y=1$$

Egin 4x-y=1 ken 6x-y=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-4x-y+y=5-1$$

Gehitu -y eta y. Sinplifikatu egiten dira -y eta y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6x-4x=5-1$$

Gehitu 6x eta -4x.

$$2x=5-1$$

Gehitu 5 eta -1.

$$2x=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=2$$

Ordeztu 2 x balioarekin 4x-y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$4\times 2-y=1$$

Egin 4 bider 2.

$$8-y=1$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-7$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=7$$