Resolver {l}{6x-18y=-85}{24x-5y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x - 18 y = - 85 } \\ { 24 x - 5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x-18y=-85$$

Gehitu 18y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=18y-85$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(18y-85\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider 18y-85.

$$x=3y-\frac{85}{6}$$

Ordeztu 3y-\frac{85}{6} balioa x balioarekin beste ekuazioan (24x-5y=-5).

$$24\left(3y-\frac{85}{6}\right)-5y=-5$$

Egin 24 bider 3y-\frac{85}{6}.

$$72y-340-5y=-5$$

Gehitu 72y eta -5y.

$$67y-340=-5$$

Gehitu 340 ekuazioaren bi aldeetan.

$$67y=335$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 67 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin x=3y-\frac{85}{6} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=3\times 5-\frac{85}{6}$$

Egin 3 bider 5.

$$x=15-\frac{85}{6}$$

Gehitu -\frac{85}{6} eta 15.

$$x=\frac{5}{6}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-18\\24&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&-\frac{-18}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\\-\frac{24}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}&\frac{6}{6\left(-5\right)-\left(-18\times 24\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}&\frac{3}{67}\\-\frac{4}{67}&\frac{1}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-85\\-5\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{402}\left(-85\right)+\frac{3}{67}\left(-5\right)\\-\frac{4}{67}\left(-85\right)+\frac{1}{67}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\5\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x-18y=-85,24x-5y=-5$$

6x eta 24x berdintzeko, biderkatu 24 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$24\times 6x+24\left(-18\right)y=24\left(-85\right),6\times 24x+6\left(-5\right)y=6\left(-5\right)$$

Sinplifikatu.

$$144x-432y=-2040,144x-30y=-30$$

Egin 144x-30y=-30 ken 144x-432y=-2040 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$144x-144x-432y+30y=-2040+30$$

Gehitu 144x eta -144x. Sinplifikatu egiten dira 144x eta -144x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-432y+30y=-2040+30$$

Gehitu -432y eta 30y.

$$-402y=-2040+30$$

Gehitu -2040 eta 30.

$$-402y=-2010$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -402 balioarekin.

$$y=5$$

Ordeztu 5 y balioarekin 24x-5y=-5 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$24x-5\times 5=-5$$

Egin -5 bider 5.

$$24x-25=-5$$

Gehitu 25 ekuazioaren bi aldeetan.

$$24x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 24 balioarekin.

$$x=\frac{5}{6}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{5}{6},y=5$$