Resolver {l}{6x=1-2y}{5x+y=-3/2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x = 1 - 2 y } \\ { 5 x + y = - \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-1$$

$$y = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2y bi aldeetan.

$$6x+2y=1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x+2y=1,5x+y=-\frac{3}{2}$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x+2y=1$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-2y+1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+1\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -2y+1.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}$$

Ordeztu -\frac{y}{3}+\frac{1}{6} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+y=-\frac{3}{2}).

$$5\left(-\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}\right)+y=-\frac{3}{2}$$

Egin 5 bider -\frac{y}{3}+\frac{1}{6}.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{5}{6}+y=-\frac{3}{2}$$

Gehitu -\frac{5y}{3} eta y.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{5}{6}=-\frac{3}{2}$$

Egin ken \frac{5}{6} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{2}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{2}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{7}{2}$$

Ordeztu \frac{7}{2} y balioarekin x=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{6} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{7}{2}+\frac{1}{6}$$

Egin -\frac{1}{3} bider \frac{7}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-7+1}{6}$$

Gehitu \frac{1}{6} eta -\frac{7}{6} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=\frac{7}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2y bi aldeetan.

$$6x+2y=1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x+2y=1,5x+y=-\frac{3}{2}$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&2\\5&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\5&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\5&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-2\times 5}&-\frac{2}{6-2\times 5}\\-\frac{5}{6-2\times 5}&\frac{6}{6-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\\frac{5}{4}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)\\\frac{5}{4}-\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{2}\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-1,y=\frac{7}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Gehitu 2y bi aldeetan.

$$6x+2y=1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x+2y=1,5x+y=-\frac{3}{2}$$

6x eta 5x berdintzeko, biderkatu 5 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$5\times 6x+5\times 2y=5,6\times 5x+6y=6\left(-\frac{3}{2}\right)$$

Sinplifikatu.

$$30x+10y=5,30x+6y=-9$$

Egin 30x+6y=-9 ken 30x+10y=5 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$30x-30x+10y-6y=5+9$$

Gehitu 30x eta -30x. Sinplifikatu egiten dira 30x eta -30x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$10y-6y=5+9$$

Gehitu 10y eta -6y.

$$4y=5+9$$

Gehitu 5 eta 9.

$$4y=14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=\frac{7}{2}$$

Ordeztu \frac{7}{2} y balioarekin 5x+y=-\frac{3}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Egin ken \frac{7}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=-1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-1,y=\frac{7}{2}$$