Resolver {l}{6x+8y=20}{5y+3x=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 8 y = 20 } \\ { 5 y + 3 x = 8 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=6$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x+8y=20$$

Egin ken 8y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-8y+20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(-8y+20\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -8y+20.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}$$

Ordeztu \frac{-4y+10}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+5y=8).

$$3\left(-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}\right)+5y=8$$

Egin 3 bider \frac{-4y+10}{3}.

$$-4y+10+5y=8$$

Gehitu -4y eta 5y.

$$y+10=8$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-2\right)+\frac{10}{3}$$

Egin -\frac{4}{3} bider -2.

$$x=\frac{8+10}{3}$$

Gehitu \frac{10}{3} eta \frac{8}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&8\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-8\times 3}&-\frac{8}{6\times 5-8\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-8\times 3}&\frac{6}{6\times 5-8\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-\frac{4}{3}\\-\frac{1}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\times 20-\frac{4}{3}\times 8\\-\frac{1}{2}\times 20+8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=6,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x+8y=20,3x+5y=8$$

6x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 6x+3\times 8y=3\times 20,6\times 3x+6\times 5y=6\times 8$$

Sinplifikatu.

$$18x+24y=60,18x+30y=48$$

Egin 18x+30y=48 ken 18x+24y=60 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$18x-18x+24y-30y=60-48$$

Gehitu 18x eta -18x. Sinplifikatu egiten dira 18x eta -18x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$24y-30y=60-48$$

Gehitu 24y eta -30y.

$$-6y=60-48$$

Gehitu 60 eta -48.

$$-6y=12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin 3x+5y=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+5\left(-2\right)=8$$

Egin 5 bider -2.

$$3x-10=8$$

Gehitu 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=-2$$