Resolver {l}{6x+6y=90}{10x-10y=90}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 6 y = 90 } \\ { 10 x - 10 y = 90 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=12$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x+6y=90,10x-10y=90$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x+6y=90$$

Egin ken 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-6y+90$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(-6y+90\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -6y+90.

$$x=-y+15$$

Ordeztu -y+15 balioa x balioarekin beste ekuazioan (10x-10y=90).

$$10\left(-y+15\right)-10y=90$$

Egin 10 bider -y+15.

$$-10y+150-10y=90$$

Gehitu -10y eta -10y.

$$-20y+150=90$$

Egin ken 150 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-20y=-60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -20 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-y+15 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-3+15$$

Gehitu 15 eta -3.

$$x=12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=12,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x+6y=90,10x-10y=90$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&6\\10&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\90\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&6\\10&-10\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\10&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&6\\10&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\10&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\90\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\10&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\90\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\10&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\90\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{6\left(-10\right)-6\times 10}&-\frac{6}{6\left(-10\right)-6\times 10}\\-\frac{10}{6\left(-10\right)-6\times 10}&\frac{6}{6\left(-10\right)-6\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\90\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{20}\\\frac{1}{12}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\90\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 90+\frac{1}{20}\times 90\\\frac{1}{12}\times 90-\frac{1}{20}\times 90\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=12,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x+6y=90,10x-10y=90$$

6x eta 10x berdintzeko, biderkatu 10 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$10\times 6x+10\times 6y=10\times 90,6\times 10x+6\left(-10\right)y=6\times 90$$

Sinplifikatu.

$$60x+60y=900,60x-60y=540$$

Egin 60x-60y=540 ken 60x+60y=900 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$60x-60x+60y+60y=900-540$$

Gehitu 60x eta -60x. Sinplifikatu egiten dira 60x eta -60x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$60y+60y=900-540$$

Gehitu 60y eta 60y.

$$120y=900-540$$

Gehitu 900 eta -540.

$$120y=360$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 120 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 10x-10y=90 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$10x-10\times 3=90$$

Egin -10 bider 3.

$$10x-30=90$$

Gehitu 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$10x=120$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$x=12$$

Ebatzi da sistema.

$$x=12,y=3$$