Resolver {l}{6x+6y=6}{6x+3y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 6 y = 6 } \\ { 6 x + 3 y = - 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x+6y=6,6x+3y=-3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x+6y=6$$

Egin ken 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-6y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(-6y+6\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -6y+6.

$$x=-y+1$$

Ordeztu -y+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (6x+3y=-3).

$$6\left(-y+1\right)+3y=-3$$

Egin 6 bider -y+1.

$$-6y+6+3y=-3$$

Gehitu -6y eta 3y.

$$-3y+6=-3$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-3y=-9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-3+1$$

Gehitu 1 eta -3.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x+6y=6,6x+3y=-3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&6\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-6\times 6}&-\frac{6}{6\times 3-6\times 6}\\-\frac{6}{6\times 3-6\times 6}&\frac{6}{6\times 3-6\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\times 6-\frac{1}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-2,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x+6y=6,6x+3y=-3$$

Egin 6x+3y=-3 ken 6x+6y=6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+6y-3y=6+3$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-3y=6+3$$

Gehitu 6y eta -3y.

$$3y=6+3$$

Gehitu 6 eta 3.

$$3y=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin 6x+3y=-3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$6x+3\times 3=-3$$

Egin 3 bider 3.

$$6x+9=-3$$

Egin ken 9 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-2,y=3$$