Resolver {l}{6x+3y=60}{2x+5y=800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 60 } \\ { 2 x + 5 y = 800 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = -\frac{175}{2} = -87\frac{1}{2} = -87.5$$

$$y=195$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x+3y=60$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-3y+60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+60\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -3y+60.

$$x=-\frac{1}{2}y+10$$

Ordeztu -\frac{y}{2}+10 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+5y=800).

$$2\left(-\frac{1}{2}y+10\right)+5y=800$$

Egin 2 bider -\frac{y}{2}+10.

$$-y+20+5y=800$$

Gehitu -y eta 5y.

$$4y+20=800$$

Egin ken 20 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=780$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=195$$

Ordeztu 195 y balioarekin x=-\frac{1}{2}y+10 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{2}\times 195+10$$

Egin -\frac{1}{2} bider 195.

$$x=-\frac{195}{2}+10$$

Gehitu 10 eta -\frac{195}{2}.

$$x=-\frac{175}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{6\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{6\times 5-3\times 2}&\frac{6}{6\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 60-\frac{1}{8}\times 800\\-\frac{1}{12}\times 60+\frac{1}{4}\times 800\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{175}{2}\\195\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

6x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\times 6x+2\times 3y=2\times 60,6\times 2x+6\times 5y=6\times 800$$

Sinplifikatu.

$$12x+6y=120,12x+30y=4800$$

Egin 12x+30y=4800 ken 12x+6y=120 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x+6y-30y=120-4800$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-30y=120-4800$$

Gehitu 6y eta -30y.

$$-24y=120-4800$$

Gehitu 120 eta -4800.

$$-24y=-4680$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -24 balioarekin.

$$y=195$$

Ordeztu 195 y balioarekin 2x+5y=800 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+5\times 195=800$$

Egin 5 bider 195.

$$2x+975=800$$

Egin ken 975 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=-175$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=-\frac{175}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$