Resolver {l}{6x+2y=300}{3x+5y=600}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 300 } \\ { 3 x + 5 y = 600 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{25}{2} = 12\frac{1}{2} = 12.5$$

$$y = \frac{225}{2} = 112\frac{1}{2} = 112.5$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x+2y=300$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-2y+300$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+300\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -2y+300.

$$x=-\frac{1}{3}y+50$$

Ordeztu -\frac{y}{3}+50 balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+5y=600).

$$3\left(-\frac{1}{3}y+50\right)+5y=600$$

Egin 3 bider -\frac{y}{3}+50.

$$-y+150+5y=600$$

Gehitu -y eta 5y.

$$4y+150=600$$

Egin ken 150 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4y=450$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$y=\frac{225}{2}$$

Ordeztu \frac{225}{2} y balioarekin x=-\frac{1}{3}y+50 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{225}{2}+50$$

Egin -\frac{1}{3} bider \frac{225}{2}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{75}{2}+50$$

Gehitu 50 eta -\frac{75}{2}.

$$x=\frac{25}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-2\times 3}&-\frac{2}{6\times 5-2\times 3}\\-\frac{3}{6\times 5-2\times 3}&\frac{6}{6\times 5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}300\\600\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 300-\frac{1}{12}\times 600\\-\frac{1}{8}\times 300+\frac{1}{4}\times 600\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{2}\\\frac{225}{2}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x+2y=300,3x+5y=600$$

6x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 6x+3\times 2y=3\times 300,6\times 3x+6\times 5y=6\times 600$$

Sinplifikatu.

$$18x+6y=900,18x+30y=3600$$

Egin 18x+30y=3600 ken 18x+6y=900 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$18x-18x+6y-30y=900-3600$$

Gehitu 18x eta -18x. Sinplifikatu egiten dira 18x eta -18x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-30y=900-3600$$

Gehitu 6y eta -30y.

$$-24y=900-3600$$

Gehitu 900 eta -3600.

$$-24y=-2700$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -24 balioarekin.

$$y=\frac{225}{2}$$

Ordeztu \frac{225}{2} y balioarekin 3x+5y=600 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+5\times \frac{225}{2}=600$$

Egin 5 bider \frac{225}{2}.

$$3x+\frac{1125}{2}=600$$

Egin ken \frac{1125}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{75}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{25}{2}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{25}{2},y=\frac{225}{2}$$