Resolver {l}{6x+2y=130}{3x+4y=130}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = 130 } \\ { 3 x + 4 y = 130 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{130}{9} = 14\frac{4}{9} \approx 14.444444444$$

$$y = \frac{65}{3} = 21\frac{2}{3} \approx 21.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x+2y=130,3x+4y=130$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x+2y=130$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-2y+130$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+130\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -2y+130.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{65}{3}$$

Ordeztu \frac{-y+65}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+4y=130).

$$3\left(-\frac{1}{3}y+\frac{65}{3}\right)+4y=130$$

Egin 3 bider \frac{-y+65}{3}.

$$-y+65+4y=130$$

Gehitu -y eta 4y.

$$3y+65=130$$

Egin ken 65 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=65$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=\frac{65}{3}$$

Ordeztu \frac{65}{3} y balioarekin x=-\frac{1}{3}y+\frac{65}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{65}{3}+\frac{65}{3}$$

Egin -\frac{1}{3} bider \frac{65}{3}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{65}{9}+\frac{65}{3}$$

Gehitu \frac{65}{3} eta -\frac{65}{9} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{130}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{130}{9},y=\frac{65}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x+2y=130,3x+4y=130$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{6\times 4-2\times 3}&-\frac{2}{6\times 4-2\times 3}\\-\frac{3}{6\times 4-2\times 3}&\frac{6}{6\times 4-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\130\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 130-\frac{1}{9}\times 130\\-\frac{1}{6}\times 130+\frac{1}{3}\times 130\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{9}\\\frac{65}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{130}{9},y=\frac{65}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x+2y=130,3x+4y=130$$

6x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 6x+3\times 2y=3\times 130,6\times 3x+6\times 4y=6\times 130$$

Sinplifikatu.

$$18x+6y=390,18x+24y=780$$

Egin 18x+24y=780 ken 18x+6y=390 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$18x-18x+6y-24y=390-780$$

Gehitu 18x eta -18x. Sinplifikatu egiten dira 18x eta -18x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$6y-24y=390-780$$

Gehitu 6y eta -24y.

$$-18y=390-780$$

Gehitu 390 eta -780.

$$-18y=-390$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -18 balioarekin.

$$y=\frac{65}{3}$$

Ordeztu \frac{65}{3} y balioarekin 3x+4y=130 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x+4\times \frac{65}{3}=130$$

Egin 4 bider \frac{65}{3}.

$$3x+\frac{260}{3}=130$$

Egin ken \frac{260}{3} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{130}{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{130}{9}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{130}{9},y=\frac{65}{3}$$