Resolver {l}{6x+15y=360}{8x+10y=440}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 15 y = 360 } \\ { 8 x + 10 y = 440 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=50$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x+15y=360$$

Egin ken 15y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-15y+360$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(-15y+360\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -15y+360.

$$x=-\frac{5}{2}y+60$$

Ordeztu -\frac{5y}{2}+60 balioa x balioarekin beste ekuazioan (8x+10y=440).

$$8\left(-\frac{5}{2}y+60\right)+10y=440$$

Egin 8 bider -\frac{5y}{2}+60.

$$-20y+480+10y=440$$

Gehitu -20y eta 10y.

$$-10y+480=440$$

Egin ken 480 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-10y=-40$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin x=-\frac{5}{2}y+60 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{5}{2}\times 4+60$$

Egin -\frac{5}{2} bider 4.

$$x=-10+60$$

Gehitu 60 eta -10.

$$x=50$$

Ebatzi da sistema.

$$x=50,y=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&15\\8&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{6\times 10-15\times 8}&-\frac{15}{6\times 10-15\times 8}\\-\frac{8}{6\times 10-15\times 8}&\frac{6}{6\times 10-15\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\440\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\times 360+\frac{1}{4}\times 440\\\frac{2}{15}\times 360-\frac{1}{10}\times 440\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=50,y=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x+15y=360,8x+10y=440$$

6x eta 8x berdintzeko, biderkatu 8 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$8\times 6x+8\times 15y=8\times 360,6\times 8x+6\times 10y=6\times 440$$

Sinplifikatu.

$$48x+120y=2880,48x+60y=2640$$

Egin 48x+60y=2640 ken 48x+120y=2880 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$48x-48x+120y-60y=2880-2640$$

Gehitu 48x eta -48x. Sinplifikatu egiten dira 48x eta -48x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$120y-60y=2880-2640$$

Gehitu 120y eta -60y.

$$60y=2880-2640$$

Gehitu 2880 eta -2640.

$$60y=240$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 60 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin 8x+10y=440 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$8x+10\times 4=440$$

Egin 10 bider 4.

$$8x+40=440$$

Egin ken 40 ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=400$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=50$$

Ebatzi da sistema.

$$x=50,y=4$$