Resolver {l}{6u+4v=5}{9u-8v=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: u, v

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi u. Horretarako, isolatu u berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6u+4v=5$$

Egin ken 4v ekuazioaren bi aldeetan.

$$6u=-4v+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -4v+5.

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

Ordeztu -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} balioa u balioarekin beste ekuazioan (9u-8v=4).

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

Egin 9 bider -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}.

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

Gehitu -6v eta -8v.

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

Egin ken \frac{15}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -14 balioarekin.

$$v=\frac{1}{4}$$

Ordeztu \frac{1}{4} v balioarekin u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, u ebatz dezakezu zuzenean.

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

Egin -\frac{2}{3} bider \frac{1}{4}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

Gehitu \frac{5}{6} eta -\frac{1}{6} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$u=\frac{2}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

Atera u eta v matrize-elementuak.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

6u eta 9u berdintzeko, biderkatu 9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

Sinplifikatu.

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

Egin 54u-48v=24 ken 54u+36v=45 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

Gehitu 54u eta -54u. Sinplifikatu egiten dira 54u eta -54u. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$36v+48v=45-24$$

Gehitu 36v eta 48v.

$$84v=45-24$$

Gehitu 45 eta -24.

$$84v=21$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 84 balioarekin.

$$v=\frac{1}{4}$$

Ordeztu \frac{1}{4} v balioarekin 9u-8v=4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, u ebatz dezakezu zuzenean.

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

Egin -8 bider \frac{1}{4}.

$$9u-2=4$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9u=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$u=\frac{2}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$