Resolver {l}{50x+y=200}{60x+y=260}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x + y = 200 } \\ { 60 x + y = 260 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=6$$

$$y=-100$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$50x+y=200$$

Egin ken y ekuazioaren bi aldeetan.

$$50x=-y+200$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 50 balioarekin.

$$x=\frac{1}{50}\left(-y+200\right)$$

Egin \frac{1}{50} bider -y+200.

$$x=-\frac{1}{50}y+4$$

Ordeztu -\frac{y}{50}+4 balioa x balioarekin beste ekuazioan (60x+y=260).

$$60\left(-\frac{1}{50}y+4\right)+y=260$$

Egin 60 bider -\frac{y}{50}+4.

$$-\frac{6}{5}y+240+y=260$$

Gehitu -\frac{6y}{5} eta y.

$$-\frac{1}{5}y+240=260$$

Egin ken 240 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{5}y=20$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=-100$$

Ordeztu -100 y balioarekin x=-\frac{1}{50}y+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{50}\left(-100\right)+4$$

Egin -\frac{1}{50} bider -100.

$$x=2+4$$

Gehitu 4 eta 2.

$$x=6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=-100$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&1\\60&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50-60}&-\frac{1}{50-60}\\-\frac{60}{50-60}&\frac{50}{50-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\260\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 200+\frac{1}{10}\times 260\\6\times 200-5\times 260\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-100\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=6,y=-100$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$50x+y=200,60x+y=260$$

Egin 60x+y=260 ken 50x+y=200 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$50x-60x+y-y=200-260$$

Gehitu y eta -y. Sinplifikatu egiten dira y eta -y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$50x-60x=200-260$$

Gehitu 50x eta -60x.

$$-10x=200-260$$

Gehitu 200 eta -260.

$$-10x=-60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -10 balioarekin.

$$x=6$$

Ordeztu 6 x balioarekin 60x+y=260 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$60\times 6+y=260$$

Egin 60 bider 6.

$$360+y=260$$

Egin ken 360 ekuazioaren bi aldeetan.

$$y=-100$$

Ebatzi da sistema.

$$x=6,y=-100$$