Resolver {l}{5x-y=5}{y=1/5x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 5 } \\ { y = \frac { 1 } { 5 } x } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{25}{24} = 1\frac{1}{24} \approx 1.041666667$$

$$y=\frac{5}{24}\approx 0.208333333$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{5}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-y=5$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=y+5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+5\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider y+5.

$$x=\frac{1}{5}y+1$$

Ordeztu \frac{y}{5}+1 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-\frac{1}{5}x+y=0).

$$-\frac{1}{5}\left(\frac{1}{5}y+1\right)+y=0$$

Egin -\frac{1}{5} bider \frac{y}{5}+1.

$$-\frac{1}{25}y-\frac{1}{5}+y=0$$

Gehitu -\frac{y}{25} eta y.

$$\frac{24}{25}y-\frac{1}{5}=0$$

Gehitu \frac{1}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{24}{25}y=\frac{1}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{24}{25} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{5}{24}$$

Ordeztu \frac{5}{24} y balioarekin x=\frac{1}{5}y+1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{5}{24}+1$$

Egin \frac{1}{5} bider \frac{5}{24}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1}{24}+1$$

Gehitu 1 eta \frac{1}{24}.

$$x=\frac{25}{24}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{5}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-\frac{1}{5}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{5}}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}&\frac{5}{5-\left(-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&\frac{5}{24}\\\frac{1}{24}&\frac{25}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 5\\\frac{1}{24}\times 5\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}\\\frac{5}{24}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Kendu \frac{1}{5}x bi aldeetatik.

$$y-\frac{1}{5}x=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-y=5,-\frac{1}{5}x+y=0$$

5x eta -\frac{x}{5} berdintzeko, biderkatu -\frac{1}{5} balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-\frac{1}{5}\times 5x-\frac{1}{5}\left(-1\right)y=-\frac{1}{5}\times 5,5\left(-\frac{1}{5}\right)x+5y=0$$

Sinplifikatu.

$$-x+\frac{1}{5}y=-1,-x+5y=0$$

Egin -x+5y=0 ken -x+\frac{1}{5}y=-1 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-x+x+\frac{1}{5}y-5y=-1$$

Gehitu -x eta x. Sinplifikatu egiten dira -x eta x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$\frac{1}{5}y-5y=-1$$

Gehitu \frac{y}{5} eta -5y.

$$-\frac{24}{5}y=-1$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{24}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=\frac{5}{24}$$

Ordeztu \frac{5}{24} y balioarekin -\frac{1}{5}x+y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-\frac{1}{5}x+\frac{5}{24}=0$$

Egin ken \frac{5}{24} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{1}{5}x=-\frac{5}{24}$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$x=\frac{25}{24}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{25}{24},y=\frac{5}{24}$$