Resolver {l}{5x-y=110}{9y-x=110}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - y = 110 } \\ { 9 y - x = 110 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=25$$

$$y=15$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-y=110$$

Gehitu y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=y+110$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+110\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider y+110.

$$x=\frac{1}{5}y+22$$

Ordeztu \frac{y}{5}+22 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+9y=110).

$$-\left(\frac{1}{5}y+22\right)+9y=110$$

Egin -1 bider \frac{y}{5}+22.

$$-\frac{1}{5}y-22+9y=110$$

Gehitu -\frac{y}{5} eta 9y.

$$\frac{44}{5}y-22=110$$

Gehitu 22 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{44}{5}y=132$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{44}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=15$$

Ordeztu 15 y balioarekin x=\frac{1}{5}y+22 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{1}{5}\times 15+22$$

Egin \frac{1}{5} bider 15.

$$x=3+22$$

Gehitu 22 eta 3.

$$x=25$$

Ebatzi da sistema.

$$x=25,y=15$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 9-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}&\frac{1}{44}\\\frac{1}{44}&\frac{5}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}110\\110\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{44}\times 110+\frac{1}{44}\times 110\\\frac{1}{44}\times 110+\frac{5}{44}\times 110\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=25,y=15$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-y=110,-x+9y=110$$

5x eta -x berdintzeko, biderkatu -1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-5x-\left(-y\right)=-110,5\left(-1\right)x+5\times 9y=5\times 110$$

Sinplifikatu.

$$-5x+y=-110,-5x+45y=550$$

Egin -5x+45y=550 ken -5x+y=-110 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-5x+5x+y-45y=-110-550$$

Gehitu -5x eta 5x. Sinplifikatu egiten dira -5x eta 5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$y-45y=-110-550$$

Gehitu y eta -45y.

$$-44y=-110-550$$

Gehitu -110 eta -550.

$$-44y=-660$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -44 balioarekin.

$$y=15$$

Ordeztu 15 y balioarekin -x+9y=110 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-x+9\times 15=110$$

Egin 9 bider 15.

$$-x+135=110$$

Egin ken 135 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-x=-25$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$x=25$$

Ebatzi da sistema.

$$x=25,y=15$$