Resolver {l}{5x-6y=-3}{5x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = - 3 } \\ { 5 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-6y=-3$$

Gehitu 6y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=6y-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-3\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 6y-3.

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}$$

Ordeztu \frac{6y-3}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x-3y=3).

$$5\left(\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}\right)-3y=3$$

Egin 5 bider \frac{6y-3}{5}.

$$6y-3-3y=3$$

Gehitu 6y eta -3y.

$$3y-3=3$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=\frac{6}{5}y-\frac{3}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{6}{5}\times 2-\frac{3}{5}$$

Egin \frac{6}{5} bider 2.

$$x=\frac{12-3}{5}$$

Gehitu -\frac{3}{5} eta \frac{12}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{9}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{9}{5},y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{2}{5}\times 3\\-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{9}{5},y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

Egin 5x-3y=3 ken 5x-6y=-3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-5x-6y+3y=-3-3$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-6y+3y=-3-3$$

Gehitu -6y eta 3y.

$$-3y=-3-3$$

Gehitu -3 eta -3.

$$-3y=-6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 5x-3y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x-3\times 2=3$$

Egin -3 bider 2.

$$5x-6=3$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=9$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{9}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{9}{5},y=2$$