Resolver {l}{5x-4y=19y}{5x+2y=71}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 y } \\ { 5 x + 2 y = 71 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{1633}{125} = 13\frac{8}{125} = 13.064$$

$$y = \frac{71}{25} = 2\frac{21}{25} = 2.84$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 19y bi aldeetatik.

$$5x-4y-19y=0$$

-23y lortzeko, konbinatu -4y eta -19y.

$$5x-23y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-23y=0$$

Gehitu 23y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=23y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\times 23y$$

Egin \frac{1}{5} bider 23y.

$$x=\frac{23}{5}y$$

Ordeztu \frac{23y}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (5x+2y=71).

$$5\times \frac{23}{5}y+2y=71$$

Egin 5 bider \frac{23y}{5}.

$$23y+2y=71$$

Gehitu 23y eta 2y.

$$25y=71$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 25 balioarekin.

$$y=\frac{71}{25}$$

Ordeztu \frac{71}{25} y balioarekin x=\frac{23}{5}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{23}{5}\times \frac{71}{25}$$

Egin \frac{23}{5} bider \frac{71}{25}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{1633}{125}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 19y bi aldeetatik.

$$5x-4y-19y=0$$

-23y lortzeko, konbinatu -4y eta -19y.

$$5x-23y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-23\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&-\frac{-23}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-23\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{125}&\frac{23}{125}\\-\frac{1}{25}&\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\71\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{23}{125}\times 71\\\frac{1}{25}\times 71\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1633}{125}\\\frac{71}{25}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 19y bi aldeetatik.

$$5x-4y-19y=0$$

-23y lortzeko, konbinatu -4y eta -19y.

$$5x-23y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-23y=0,5x+2y=71$$

Egin 5x+2y=71 ken 5x-23y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-5x-23y-2y=-71$$

Gehitu 5x eta -5x. Sinplifikatu egiten dira 5x eta -5x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-23y-2y=-71$$

Gehitu -23y eta -2y.

$$-25y=-71$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -25 balioarekin.

$$y=\frac{71}{25}$$

Ordeztu \frac{71}{25} y balioarekin 5x+2y=71 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$5x+2\times \frac{71}{25}=71$$

Egin 2 bider \frac{71}{25}.

$$5x+\frac{142}{25}=71$$

Egin ken \frac{142}{25} ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=\frac{1633}{25}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1633}{125}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{1633}{125},y=\frac{71}{25}$$