Resolver {l}{5x-4y=-3}{3x-4y=-13}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = - 3 } \\ { 3 x - 4 y = - 13 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=5$$

$$y=7$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-4y=-3$$

Gehitu 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=4y-3$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-3\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 4y-3.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

Ordeztu \frac{4y-3}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x-4y=-13).

$$3\left(\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)-4y=-13$$

Egin 3 bider \frac{4y-3}{5}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{9}{5}-4y=-13$$

Gehitu \frac{12y}{5} eta -4y.

$$-\frac{8}{5}y-\frac{9}{5}=-13$$

Gehitu \frac{9}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{56}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{8}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=7$$

Ordeztu 7 y balioarekin x=\frac{4}{5}y-\frac{3}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{4}{5}\times 7-\frac{3}{5}$$

Egin \frac{4}{5} bider 7.

$$x=\frac{28-3}{5}$$

Gehitu -\frac{3}{5} eta \frac{28}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=7$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-13\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\left(-13\right)\\\frac{3}{8}\left(-3\right)-\frac{5}{8}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=5,y=7$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-4y=-3,3x-4y=-13$$

Egin 3x-4y=-13 ken 5x-4y=-3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$5x-3x-4y+4y=-3+13$$

Gehitu -4y eta 4y. Sinplifikatu egiten dira -4y eta 4y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$5x-3x=-3+13$$

Gehitu 5x eta -3x.

$$2x=-3+13$$

Gehitu -3 eta 13.

$$2x=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=5$$

Ordeztu 5 x balioarekin 3x-4y=-13 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$3\times 5-4y=-13$$

Egin 3 bider 5.

$$15-4y=-13$$

Egin ken 15 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-4y=-28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -4 balioarekin.

$$y=7$$

Ebatzi da sistema.

$$x=5,y=7$$