Resolver {l}{5x-3y=28}{12x+4y=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 28 } \\ { 12 x + 4 y = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=-6$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$5x-3y=28$$

Gehitu 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$5x=3y+28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 5 balioarekin.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+28\right)$$

Egin \frac{1}{5} bider 3y+28.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}$$

Ordeztu \frac{3y+28}{5} balioa x balioarekin beste ekuazioan (12x+4y=0).

$$12\left(\frac{3}{5}y+\frac{28}{5}\right)+4y=0$$

Egin 12 bider \frac{3y+28}{5}.

$$\frac{36}{5}y+\frac{336}{5}+4y=0$$

Gehitu \frac{36y}{5} eta 4y.

$$\frac{56}{5}y+\frac{336}{5}=0$$

Egin ken \frac{336}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{56}{5}y=-\frac{336}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{56}{5} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin x=\frac{3}{5}y+\frac{28}{5} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{3}{5}\left(-6\right)+\frac{28}{5}$$

Egin \frac{3}{5} bider -6.

$$x=\frac{-18+28}{5}$$

Gehitu \frac{28}{5} eta -\frac{18}{5} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-6$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\12&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{56}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{56}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 28\\-\frac{3}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-6\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=-6$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$5x-3y=28,12x+4y=0$$

5x eta 12x berdintzeko, biderkatu 12 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$12\times 5x+12\left(-3\right)y=12\times 28,5\times 12x+5\times 4y=0$$

Sinplifikatu.

$$60x-36y=336,60x+20y=0$$

Egin 60x+20y=0 ken 60x-36y=336 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$60x-60x-36y-20y=336$$

Gehitu 60x eta -60x. Sinplifikatu egiten dira 60x eta -60x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-36y-20y=336$$

Gehitu -36y eta -20y.

$$-56y=336$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -56 balioarekin.

$$y=-6$$

Ordeztu -6 y balioarekin 12x+4y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$12x+4\left(-6\right)=0$$

Egin 4 bider -6.

$$12x-24=0$$

Gehitu 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$12x=24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-6$$